Электростатическое поле сетки

Напоследок мы хотим изложить еще одно интересное свойство электрических полей. Оно используется в электрических приборах, электронных лампах и для других целей. Речь идет о поведении электрического поля близ сетки, составленной из заряженных проволочек. Чтоб упростить задачу, возьмем плоскую систему параллельных проволочек бесконечной длины, промежутки между которыми одинаковы.
Если мы посмотрим на поле где-то высоко над плоскостью проволочек, перед нами предстанет однородное электрическое поле, такое, словно заряд распределен на плоскости равномерно. По мере приближения к сетке начнутся отклонения от прежней однородности. Мы хотим оценить, насколько близко от сетки появятся заметные изменения в потенциале. На фиг. 7.8 показано примерное расположение эквипотенциальных поверхностей на разных расстояниях от сетки. Чем ближе к сетке, тем сильнее колебания. Двигаясь параллельно сетке, мы заметим, что поле изменяется периодически.
Мы уже знаем (см. вып. 4, гл. 50), что любая периодическая величина может быть представлена в виде суммы синусных волн (теорема Фурье). Посмотрим, нельзя ли найти подходящую колебательную функцию, которая удовлетворяет нашим уравнениям поля.
 
Если проволочки лежат в плоскости ху параллельно оси y, то можно попробовать испытать члены вида

где a — расстояние между нитями, а n — число колебаний. (Мы предположили, что нити эти очень длинные, так что никаких изменений по y не заметно.) Полное решение должно состоять из суммы таких членов при n=1, 2, 3... Чтоб получился правильный потенциал, оно должно в области над сеткой (где зарядов нет) подчиняться уравнению Лапласа, т. е.

Испытывая этим уравнением функцию φ из (7.41), мы получаем

т.е. F_n(z) должно удовлетворять условию

Итак, должно быть

Мы обнаружили, что если имеется компонента Фурье n-й гармоники поля, то эта компонента должна убывать по экспоненте с высотой, причем характерным расстоянием является z₀=a/2πn. Амплитуда у первой гармоники (n=1) уменьшается в e^2π раз (очень резкое падение) каждый раз, когда мы удаляемся от сетки на величину одного промежутка a. Другие гармоники убывают еще быстрее. Мы видим, что уже на расстоянии в несколько a сетка кажется почти однородной, т. е. колебания поля очень малы. Конечно, всегда остается «нулевая гармоника» поля

которая и дает однородное поле при больших z. Для полного решения нужно добавить этот член к сумме членов вида (7.41) с F_n из (7.44) , причем каждый член надо взять с коэффициентом А_n. Эти коэффициенты выбираются так, чтобы после дифференцирования получилось поле, согласующееся с плотностью зарядов λ на проволочках сетки.
 
Развитым нами методом можно объяснить, почему электростатическая защита с помощью сетки ничуть не хуже сплошных листов металла. Поле за сеткой равно нулю всюду, за исключением промежутка у самой сетки, не превышающего по размерам нескольких ее ячеек. Мы видим, что медная сетка, которая намного легче и дешевле сплошной медной обшивки, вполне пригодна для защиты чувствительного электрического оборудования от возмущающих внешних полей.