Наостанок ми хочемо викласти ще одну цікаву властивість електричних полів. Вона використовується в електричних приладах, електронних лампах і для інших цілей. Йдеться про поведінку електричного поля поблизу сітки, складеної із заряджених дротинок. Щоб спростити задачу, візьмемо плоску систему паралельних дротинок нескінченної довжини, проміжки між якими однакові.
Якщо ми подивимося на поле десь високо над площиною дротинок, перед нами постане однорідне електричне поле, таке, немов заряд розподілений на площині рівномірно. У міру наближення до сітки почнуться відхилення від колишньої однорідності. Ми хочемо оцінити, наскільки близько від сітки з'являться помітні зміни в потенціалі. На фіг. 7.8 показано приблизне розташування еквіпотенціальних поверхонь на різних відстанях від сітки. Чим ближче до сітки, тим сильніші коливання. Рухаючись паралельно сітці, ми помітимо, що поле змінюється періодично.
Ми вже знаємо (див. вип. 4, розд. 50), що будь-яка періодична величина може бути подана у вигляді суми синусних хвиль (теорема Фур'є). Подивимося, чи не можна знайти підхожу коливальну функцію, яка задовольняє нашим рівнянням поля.
Якщо дротинки лежать у площині ху паралельно осі y, то можна спробувати випробувати члени вигляду
Якщо ми подивимося на поле десь високо над площиною дротинок, перед нами постане однорідне електричне поле, таке, немов заряд розподілений на площині рівномірно. У міру наближення до сітки почнуться відхилення від колишньої однорідності. Ми хочемо оцінити, наскільки близько від сітки з'являться помітні зміни в потенціалі. На фіг. 7.8 показано приблизне розташування еквіпотенціальних поверхонь на різних відстанях від сітки. Чим ближче до сітки, тим сильніші коливання. Рухаючись паралельно сітці, ми помітимо, що поле змінюється періодично.Ми вже знаємо (див. вип. 4, розд. 50), що будь-яка періодична величина може бути подана у вигляді суми синусних хвиль (теорема Фур'є). Подивимося, чи не можна знайти підхожу коливальну функцію, яка задовольняє нашим рівнянням поля.
Якщо дротинки лежать у площині ху паралельно осі y, то можна спробувати випробувати члени вигляду
Зображення
де a — відстань між нитками, а n — число коливань. (Ми припустили, що ці нитки дуже довгі, тож жодних змін по y не помітно.) Повний розв'язок повинен складатися із суми таких членів при n=1, 2, 3... Щоб вийшов правильний потенціал, він повинен в області над сіткою (де зарядів немає) підпорядковуватися рівнянню Лапласа, тобто
Зображення
Випробовуючи цим рівнянням функцію φ із (7.41), ми отримуємо
Зображення
тобто Fn(z) повинна задовольняти умову
Зображення
Отже, повинно бути
Зображення
Ми виявили, що якщо є компонента Фур'є n-ї гармоніки поля, то ця компонента повинна спадати за експонентою з висотою, причому характерною відстанню є z0=a/2πn. Амплітуда в першої гармоніки (n=1) зменшується в e2π разів (дуже різке падіння) щоразу, коли ми віддаляємося від сітки на величину одного проміжку a. Інші гармоніки спадають ще швидше. Ми бачимо, що вже на відстані в кілька a сітка здається майже однорідною, тобто коливання поля дуже малі. Звісно, завжди залишається «нульова гармоніка» поля
Зображення
яка і дає однорідне поле при великих z. Для повного розв'язку потрібно додати цей член до суми членів вигляду (7.41) з Fn із (7.44) , причому кожен член треба взяти з коефіцієнтом Аn. Ці коефіцієнти обираються так, щоб після диференціювання вийшло поле, що узгоджується з густиною зарядів λ на дротинках сітки.
Розвиненим нами методом можна пояснити, чому електростатичний захист за допомогою сітки анітрохи не гірший за суцільні листи металу. Поле за сіткою дорівнює нулю всюди, за винятком проміжку біля самої сітки, що не перевищує за розмірами кількох її комірок. Ми бачимо, що мідна сітка, яка набагато легша й дешевша за суцільну мідну обшивку, цілком придатна для захисту чутливого електричного обладнання від збурювальних зовнішніх полів.
Розвиненим нами методом можна пояснити, чому електростатичний захист за допомогою сітки анітрохи не гірший за суцільні листи металу. Поле за сіткою дорівнює нулю всюди, за винятком проміжку біля самої сітки, що не перевищує за розмірами кількох її комірок. Ми бачимо, що мідна сітка, яка набагато легша й дешевша за суцільну мідну обшивку, цілком придатна для захисту чутливого електричного обладнання від збурювальних зовнішніх полів.