Коливання плазми

Займемося тепер такими фізичними задачами, в яких поле створюється не закріпленими зарядами і не зарядами на провідних поверхнях, а поєднанням обох чинників. Іншими словами, полем керують одночасно дві системи рівнянь: 1) рівняння електростатики, що пов'язують електричне поле з розподілом зарядів; 2) рівняння з іншої області фізики, що визначають положення чи рух зарядів у полі.
 
Спершу ми розберемо один динамічний приклад. У ньому рух зарядів контролюється законами Ньютона. Простий приклад такого стану речей спостерігається в плазмі, в іонізованому газі, що складається з іонів і вільних електронів, розподілених у якійсь області простору. Іоносфера (верхній шар атмосфери) слугує прикладом такої плазми. Ультрафіолетові промені Сонця відривають від молекул повітря електрони і створюють вільні електрони та іони. У плазмі позитивні іони набагато важчі за електрони, тож можна знехтувати рухом у ній іонів порівняно з рухом електронів.
 
Нехай n₀ буде густиною електронів у незбуреному рівноважному стані. Такою самою має бути і густина позитивних іонів, тому що в незбуреному стані плазма нейтральна. Тепер припустімо, що електрони якимось чином виведені з рівноваги. Що тоді вийде? Якщо густина електронів у якійсь області зросла, вони почнуть відштовхуватися і прагнутимуть повернутися в попереднє положення рівноваги. Рухаючись до своїх початкових положень, вони наберуть кінетичну енергію і замість того, щоб завмерти в рівноважній конфігурації, проскочать повз неї. Почнуться коливання. Щось подібне спостерігається в звукових хвилях, але там повертальною силою був тиск газу. У плазмі повертальна сила — це електричне притягання, що діє на електрони.
Щоб спростити міркування, ми займемося тільки одновимірним рухом електронів — скажімо, у напрямку x. Припустімо, що електрони, які первісно перебували в точці x, до моменту t змістилися з положення рівноваги на відстань s (x, t). Раз вони змістилися, то густина їх, взагалі кажучи, змінилася. Цю зміну підрахувати легко. Якщо подивитися на фіг. 7.6, видно, що електрони, які спочатку перебували між площинами a і b, зсунулися і тепер перебувають між площинами а` і b`. Кількість електронів між a і b раніше була пропорційна n₀Δх; тепер та сама їх кількість перебуває у проміжку шириною Δx + Δs. Густина тепер стала

Якщо зміна густини мала, то можна написати [замінюючи за допомогою біноміального  розкладу  (1 + ε)^-1 на (1–ε)]

Щодо іонів, то припустімо, що вони не зсунулися помітно з місця (інерція-бо в них куди більша), тож густина їх лишилася попередньою, n₀. Заряд кожного електрона –q_ε, і середня густина заряду в будь-якій точці дорівнює

(тут Δs/Δx записано через диференціали).
 
Далі, рівняння Максвелла пов'язують з густиною зарядів електричне поле. Зокрема,

Якщо задача справді одновимірна (і жодних полів, крім тих, що викликані зміщенням електронів, немає), то в електричного поля Е є одна-єдина складова Е_x. Рівняння (7.19) разом з (7.18) приведе до

Інтегруючи (7.20), отримуємо

Стала інтегрування K дорівнює нулю, тому що Е_x=0 при s=0.
 
Сила, що діє на зміщений електрон, дорівнює

тобто повертальна сила пропорційна зміщенню s електрона. Це приведе до гармонічних коливань електронів. Рівняння руху зміщеного електрона має вигляд
Звідси випливає, що s змінюється за гармонічним законом. У часі s змінюється як cos ωt або, якщо використати експоненту (див. вип. 3),  як

Частота коливань ω_p визначається з (7.23):

Це число, що характеризує плазму, називають власною частотою коливань плазми, або плазмовою частотою.
 
Оперуючи з електронами, багато хто воліє отримувати відповіді в одиницях е², визначених як

За цієї умови (7.25) перетворюється на

У такому вигляді цю формулу можна зустріти в багатьох книгах.
 
Отже, ми виявили, що збурення плазми призводять до вільних коливань електронів поблизу положення рівноваги з власною частотою ω_p, пропорційною квадратному кореню з густини електронів. Плазмові електрони поводяться як резонансна система, подібна до описаних у вип. 2, розд. 23.
 
Цей власний резонанс плазми призводить до цікавих ефектів. Наприклад, при проходженні радіохвиль крізь іоносферу виявляється, що вони можуть пройти тільки в тому випадку, якщо їхня частота вища за плазмову частоту. А інакше вони відбиваються назад. Для зв'язку зі штучним супутником ми використовуємо високі частоти. Якщо ж ми хочемо зв'язатися з радіостанцією, розташованою десь за горизонтом, то потрібні частоти менші, ніж плазмова частота, інакше сигнал не відіб'ється назад до Землі.
 
Інший цікавий приклад коливань плазми спостерігається в металах. У них міститься плазма з позитивних іонів і вільних електронів. Густина n₀ там дуже висока, отже, велика й ω_p. Але коливання електронів все ж можна виявити. Адже, згідно з квантовою механікою, гармонічний осцилятор із власною частотою ω_p має рівні енергії, що відрізняються один від одного на величину hω_p. Отже, якщо, скажімо, обстрілювати електронами алюмінієву фольгу і дуже точно вимірювати їхню енергію по той бік фольги, можна очікувати, що часом електрони через коливання плазми втрачатимуть якраз енергію hω_p. Так це й відбувається. Вперше це явище   спостерігалося експериментально в 1936 р. Електрони з енергіями від кількох сотень до кількох тисяч електронвольт, розсіюючись від тонкої металевої фольги або проходячи крізь неї, втрачали енергію порціями. Ефект залишався незрозумілим до 1953 р., поки Бом і Пайнс не показали, що все це можна пояснити квантовим збудженням плазми в металі.