У цьому розділі ми продовжимо розгляд характеристик електричних полів у різних умовах. Спершу ми опишемо один із найбільш розроблених методів розрахунку полів за наявності провідників. Ми, звісно, не розраховуємо, що ці вдосконалені методи будуть вами одразу засвоєні. Але вам має бути цікаво отримати якесь уявлення про характер задач, які вдається розв'язувати за допомогою техніки, викладеної у спеціальних, глибших курсах. Далі ми наведемо два приклади, в яких немає ні заздалегідь зафіксованого розподілу зарядів, ні розтікання зарядів по провіднику, а натомість розподіл визначають інші фізичні закони.
Як ми з'ясували в розд. 6, задача про електростатичне поле розв'язується дуже просто, коли розподіл зарядів обумовлений заздалегідь; залишається тільки взяти інтеграл. Коли ж є провідники, виникають ускладнення, тому що розподіл зарядів на провідниках від самого початку невідомий; заряди змушені самі розподіляти себе по поверхні провідника так, щоб увесь провідник набув однакового потенціалу. Ці задачі так просто не розв'язуються.
Ми розглянули обхідний шлях розв'язання таких задач, при якому спершу відшукують еквіпотенціальні поверхні якогось заданого розподілу зарядів і потім одну з них замінюють провідною поверхнею. Таким чином можна скласти каталог часткових розв'язків для провідників будь-якої форми, плоскої, сферичної тощо. Використання зображень, описане в розд. 6, є прикладом непрямого способу розв'язання. Інший такий спосіб ми опишемо в цьому розділі.
Якщо наша задача не належить до тих, для яких годиться обхідний шлях, доводиться розв'язувати її напролом. Математичною основою такого способу розв'язання задач є розв'язання рівняння Лапласа
Як ми з'ясували в розд. 6, задача про електростатичне поле розв'язується дуже просто, коли розподіл зарядів обумовлений заздалегідь; залишається тільки взяти інтеграл. Коли ж є провідники, виникають ускладнення, тому що розподіл зарядів на провідниках від самого початку невідомий; заряди змушені самі розподіляти себе по поверхні провідника так, щоб увесь провідник набув однакового потенціалу. Ці задачі так просто не розв'язуються.
Ми розглянули обхідний шлях розв'язання таких задач, при якому спершу відшукують еквіпотенціальні поверхні якогось заданого розподілу зарядів і потім одну з них замінюють провідною поверхнею. Таким чином можна скласти каталог часткових розв'язків для провідників будь-якої форми, плоскої, сферичної тощо. Використання зображень, описане в розд. 6, є прикладом непрямого способу розв'язання. Інший такий спосіб ми опишемо в цьому розділі.
Якщо наша задача не належить до тих, для яких годиться обхідний шлях, доводиться розв'язувати її напролом. Математичною основою такого способу розв'язання задач є розв'язання рівняння Лапласа
Зображення
за умови, що потенціал φ на деякій межі (поверхнях провідників) дорівнює обумовленій сталій. Задачі, пов'язані з розв'язанням диференціального рівняння поля, що задовольняє деяким граничним умовам, називаються задачами про граничні значення. Вони стали предметом інтенсивного математичного вивчення. Для складних провідників загальних аналітичних методів розв'язання немає. Навіть така проста задача, як поле зарядженого металевого циліндра із запаяними торцями — консервної банки, становить величезні математичні труднощі. Її можна розв'язати лише наближено, числовим методом. Єдиний загальний метод розв'язання — числовий.
Є кілька задач, у яких рівняння (7.1) все ж розв'язується. Наприклад, задача про заряджений провідник, що має форму еліпсоїда обертання, може бути розв'язана за допомогою деяких спеціальних функцій. Розв'язок для тонкого диска тоді можна отримати, нескінченно сплюснувши еліпсоїд. А нескінченно витягнувши той самий еліпсоїд, отримаємо поле зарядженої голки. Але треба підкреслити, що єдиний прямий спосіб, застосовний всюди і завжди, — це шлях числових розрахунків.
Задачу про граничні значення можна також розв'язувати на її фізичному аналозі. Рівняння Лапласа виникає в багатьох фізичних ситуаціях: при вивченні усталеного потоку тепла, безвихрової течії рідини, відхилень пружної мембрани. Часто можна спорудити фізичну модель, яка є аналогом розв'язуваної нами електричної задачі. Виміривши в моделі величину, аналогічну тій, що нас цікавить, можна дізнатися розв'язок задачі. Прикладом аналогової техніки є застосування електролітичної ванни для розв'язання двовимірних задач електростатики. Розв'язання вдається тому, що диференціальне рівняння для потенціалу в однорідному провідному середовищі таке саме, як і у вакуумі.
Є багато фізичних задач, у яких фізичні поля в якомусь одному напрямку не змінюються або цією зміною можна знехтувати порівняно зі змінами в двох інших напрямках. Такі задачі називають двовимірними; поле залежить лише від двох координат. Скажімо, якщо вздовж осі z протягнути довгий заряджений дріт, то в точках неподалік від нього електричне поле залежить від x і y, а не від z; задача двовимірна. Оскільки в двовимірних задачах ∂φ/∂z =0, то рівняння для φ у вільному просторі має вигляд
Є кілька задач, у яких рівняння (7.1) все ж розв'язується. Наприклад, задача про заряджений провідник, що має форму еліпсоїда обертання, може бути розв'язана за допомогою деяких спеціальних функцій. Розв'язок для тонкого диска тоді можна отримати, нескінченно сплюснувши еліпсоїд. А нескінченно витягнувши той самий еліпсоїд, отримаємо поле зарядженої голки. Але треба підкреслити, що єдиний прямий спосіб, застосовний всюди і завжди, — це шлях числових розрахунків.
Задачу про граничні значення можна також розв'язувати на її фізичному аналозі. Рівняння Лапласа виникає в багатьох фізичних ситуаціях: при вивченні усталеного потоку тепла, безвихрової течії рідини, відхилень пружної мембрани. Часто можна спорудити фізичну модель, яка є аналогом розв'язуваної нами електричної задачі. Виміривши в моделі величину, аналогічну тій, що нас цікавить, можна дізнатися розв'язок задачі. Прикладом аналогової техніки є застосування електролітичної ванни для розв'язання двовимірних задач електростатики. Розв'язання вдається тому, що диференціальне рівняння для потенціалу в однорідному провідному середовищі таке саме, як і у вакуумі.
Є багато фізичних задач, у яких фізичні поля в якомусь одному напрямку не змінюються або цією зміною можна знехтувати порівняно зі змінами в двох інших напрямках. Такі задачі називають двовимірними; поле залежить лише від двох координат. Скажімо, якщо вздовж осі z протягнути довгий заряджений дріт, то в точках неподалік від нього електричне поле залежить від x і y, а не від z; задача двовимірна. Оскільки в двовимірних задачах ∂φ/∂z =0, то рівняння для φ у вільному просторі має вигляд
Зображення
Оскільки двовимірне рівняння порівняно просте, існує широкий клас умов, у яких воно розв'язується аналітично. Справді, існує потужна математична техніка, пов'язана з теоремами теорії функцій комплексної змінної. До її викладу ми зараз і перейдемо.