Потенціали заряду, що рухається з постійною швидкістю. Формула Лоренца

Застосуємо тепер потенціали Лієнара — Віхерта до випадку заряду, що рухається по прямій із постійною швидкістю, і обчислимо поле цього заряду. Пізніше ми повторимо це виведення, використовуючи вже принцип відносності. Ми знаємо величину потенціалів у тій системі, в якій заряд спочиває. Коли заряд рухається, то все виходить простим релятивістським перетворенням від однієї системи до іншої. Але теорія відносності веде свій початок від теорії електрики і магнетизму. Формули перетворень Лоренца [див. розд. 15 (вип. 2)] — це відкриття, зроблені Лоренцом при дослідженні рівнянь електрики і магнетизму. І для того щоб ви розуміли, звідки все пішло, я хочу показати вам, що рівняння Максвелла дійсно приводять до перетворень Лоренца. Я почну з обчислення потенціала заряду, що рівномірно рухається, прямо з електродинаміки, з рівнянь Максвелла. Ми вже показали, що рівняння Максвелла приводять до потенціала, отриманого в попередньому параграфі. Отже, користуючись цими потенціалами, ми використовуємо тим самим теорію Максвелла.
 
Нехай є заряд, що рухається вздовж осі x зі швидкістю v (фіг. 21.8). Нас цікавлять потенціали в точці P(x, у, z). Якщо t=0 — момент, у який заряд проходить через початок координат, то в момент t заряд опиниться в точці x=vt, y=z=0. А нам потрібно знати його положення з урахуванням запізнення, тобто положення в момент

де r′—відстань від заряду до точки P у цей запізнілий момент. У цей більш ранній час t′ заряд був у x = vt′ так що

Щоб знайти r′ або t′, це рівняння треба зіставити з (21.35). Виключимо спершу r′, розв'язавши (21.35) відносно r′ і підставивши в (21.36). Піднісши потім обидві частини до квадрата, отримаємо

тобто квадратне рівняння відносно t′. Розкривши дужки і розташувавши члени за степенями t′, отримаємо

Звідси знайдемо

Щоб отримати r′, потрібно це t′ підставити в

Тепер  ми  вже можемо знайти φ  з виразу (21.33), що має вигляд

(з огляду на те, що v постійне).
 
Складова v у напрямку r′ дорівнює v(x — vt′)/r′, так що   v·r′ просто   дорівнює v(x—vt′), а весь знаменник дорівнює

Підставляючи (1—v²/c²)t′ із (21.37), отримуємо

Це рівняння стає зрозумілішим, якщо переписати його у вигляді

Векторний потенціал А — це такий самий вираз, але з додатковим множником v/c²:

У виразі (21.39) з усією ясністю постає перед вами початок перетворень Лоренца. Якби заряд перебував на початку координат у своїй власній системі спокою, то його потенціал мав би вигляд

А ми дивимося на нього з рухомої системи координат, і нам здається, що координати слід перетворити за допомогою формул

Це звичайне перетворення Лоренца. Лоренц вивів його тим самим способом, яким користувалися і ми.
 
Але що можна сказати про додатковий множник 1/√1–v²/с², який з'явився перед дробом у (21.39)? І крім того, як з'являється векторний потенціал А, якщо він у системі спокою частинки всюди дорівнює нулю? Ми незабаром покажемо, що А і φ разом складають чотиривектор, подібно до імпульсу р і повної енергії U частинки. Добавка 1/√1–v²/с² в (21.39)—це той самий множник, який з'являється завжди, коли перетворюють компоненти чотиривектора, так само як густина заряду ρ перетворюється на ρ/√1–v²/с². Власне, з формул (21.4) і (21.5) майже очевидно, що А і φ суть компоненти одного чотиривектора, тому що в розд. 13 (вип. 5) уже було показано, що j і ρ — компоненти чотиривектора.
 
Пізніше ми докладніше розберемо відносність в електродинаміці; тут ми хотіли тільки показати, як природно рівняння Максвелла приводять до перетворень Лоренца. Тому не варто дивуватися, дізнавшись, що закони електрики і магнетизму вже цілком придатні і для теорії відносності Ейнштейна. Їх не потрібно навіть якось особливо підганяти, як це доводилося робити з ньютонівською механікою.