Ми починаємо зараз розгляд абстрактного, математичного підходу до теорії електрики й магнетизму. Наша мета — пояснити смисл законів, викладених у розд. 1. Але для цього треба спершу пояснити нові особливі позначення, які ми хочемо використовувати. Тож давайте на якийсь час забудемо електромагнетизм і розберемося в математиці векторних полів. Вона дуже важлива не лише в електромагнетизмі, а й у багатьох фізичних обставинах, подібно до того як звичайне диференціальне та інтегральне числення важливе в усіх галузях фізики. Ми переходимо до диференціального числення векторів.
Нижче перелічено деякі відомості з алгебри векторів. Вважається, що ви з ними вже знайомі
Нижче перелічено деякі відомості з алгебри векторів. Вважається, що ви з ними вже знайомі
Зображення
Ми також будемо користуватися такими двома рівностями:
Зображення
Рівняння (2.7) справедливе, звісно, лише при Δх, Δy і Δz→0.
Найпростіше з фізичних полів — скалярне. Полем, як ви пам'ятаєте, називається величина, що залежить від положення в просторі. Скалярне поле — це просто таке поле, яке в кожній точці характеризується одним-єдиним числом — скаляром. Це число, звісно, може змінюватися в часі, але поки що ми на це не будемо зважати. (Мова йтиме про те, як поле виглядає в даний момент.) Як приклад скалярного поля розглянемо брусок із якогось матеріалу. В одних місцях брусок нагрітий, в інших — охолоджений, так що його температура змінюється від точки до точки якимось складним чином. Температура тоді буде функцією х, у і z — положення в просторі, виміряного в прямокутній системі координат. Температура — це скалярне поле.
Один зі способів уявити собі скалярне поле — це уявити «контури», тобто уявні поверхні, проведені через точки з однаковими значеннями поля, подібно до горизонталей на картах, що з'єднують точки на однаковій висоті над рівнем моря. Для температурного поля контури звуться «ізотермічні поверхні», або ізотерми. На фіг. 2.1 показано температурне поле і залежність Т від х і у при z=0. Проведено кілька ізотерм.
Поля бувають також векторними. Ідея їх дуже проста. У кожній точці простору задається вектор. Він змінюється від точки до точки. Розглянемо як приклад тіло, що обертається. Швидкість матеріалу тіла в будь-якій точці — це вектор, який є функцією її положення (фіг. 2.2). Інший приклад — потік тепла в бруску з якогось матеріалу. Якщо в одній частині бруска температура вища, а в іншій — нижча, то від гарячої частини до холодної йтиме потік тепла. Тепло в різних частинах бруска розтікатиметься в різних напрямках. Потік тепла — це величина, що має напрямок; позначимо її h; нехай довжина цього вектора вимірює кількість тепла, що протікає. Вектори потоку тепла також зображено на фіг. 2.1.
Визначимо тепер h точніше. Довжина вектора потоку тепла в даній точці — це кількість теплової енергії, що проходить за одиницю часу й у перерахунку на одиницю площі крізь нескінченно малий елемент поверхні, перпендикулярний до напрямку потоку. Вектор вказує напрямок потоку (фіг. 2.3). У буквених позначеннях: якщо ΔJ — теплова енергія, що протікає за одиницю часу крізь елемент поверхні Δа, то
Найпростіше з фізичних полів — скалярне. Полем, як ви пам'ятаєте, називається величина, що залежить від положення в просторі. Скалярне поле — це просто таке поле, яке в кожній точці характеризується одним-єдиним числом — скаляром. Це число, звісно, може змінюватися в часі, але поки що ми на це не будемо зважати. (Мова йтиме про те, як поле виглядає в даний момент.) Як приклад скалярного поля розглянемо брусок із якогось матеріалу. В одних місцях брусок нагрітий, в інших — охолоджений, так що його температура змінюється від точки до точки якимось складним чином. Температура тоді буде функцією х, у і z — положення в просторі, виміряного в прямокутній системі координат. Температура — це скалярне поле.
Один зі способів уявити собі скалярне поле — це уявити «контури», тобто уявні поверхні, проведені через точки з однаковими значеннями поля, подібно до горизонталей на картах, що з'єднують точки на однаковій висоті над рівнем моря. Для температурного поля контури звуться «ізотермічні поверхні», або ізотерми. На фіг. 2.1 показано температурне поле і залежність Т від х і у при z=0. Проведено кілька ізотерм.Поля бувають також векторними. Ідея їх дуже проста. У кожній точці простору задається вектор. Він змінюється від точки до точки. Розглянемо як приклад тіло, що обертається. Швидкість матеріалу тіла в будь-якій точці — це вектор, який є функцією її положення (фіг. 2.2). Інший приклад — потік тепла в бруску з якогось матеріалу. Якщо в одній частині бруска температура вища, а в іншій — нижча, то від гарячої частини до холодної йтиме потік тепла. Тепло в різних частинах бруска розтікатиметься в різних напрямках. Потік тепла — це величина, що має напрямок; позначимо її h; нехай довжина цього вектора вимірює кількість тепла, що протікає. Вектори потоку тепла також зображено на фіг. 2.1.Визначимо тепер h точніше. Довжина вектора потоку тепла в даній точці — це кількість теплової енергії, що проходить за одиницю часу й у перерахунку на одиницю площі крізь нескінченно малий елемент поверхні, перпендикулярний до напрямку потоку. Вектор вказує напрямок потоку (фіг. 2.3). У буквених позначеннях: якщо ΔJ — теплова енергія, що протікає за одиницю часу крізь елемент поверхні Δа, тоЗображення
де еf — одиничний вектор напрямку потоку.
Вектор h можна визначити й інакше — через його компоненти. Поставимо собі запитання, скільки тепла протікає через малу поверхню під довільним кутом до напрямку потоку. На фіг. 2.4 ми зобразили малу поверхню Δа2 під деяким кутом до поверхні Δа1, яка перпендикулярна до потоку. Одиничний вектор n перпендикулярний до поверхні Δа2. Кут θ між n і h дорівнює куту між поверхнями (оскільки h — нормаль до Δа1). Чому тепер дорівнює потік тепла через Δа2 на одиницю площі? Потоки крізь Δа2 і Δа1 рівні між собою, відрізняються лише площі. Справді, Δа1 = Δа2 cos θ. Потік тепла через Δа2 дорівнює
Вектор h можна визначити й інакше — через його компоненти. Поставимо собі запитання, скільки тепла протікає через малу поверхню під довільним кутом до напрямку потоку. На фіг. 2.4 ми зобразили малу поверхню Δа2 під деяким кутом до поверхні Δа1, яка перпендикулярна до потоку. Одиничний вектор n перпендикулярний до поверхні Δа2. Кут θ між n і h дорівнює куту між поверхнями (оскільки h — нормаль до Δа1). Чому тепер дорівнює потік тепла через Δа2 на одиницю площі? Потоки крізь Δа2 і Δа1 рівні між собою, відрізняються лише площі. Справді, Δа1 = Δа2 cos θ. Потік тепла через Δа2 дорівнюєЗображення
Пояснимо це рівняння: потік тепла (за одиницю часу і на одиницю площі) через довільний елемент поверхні з одиничною нормаллю n дорівнює h·n. Можна ще сказати так: компонента потоку тепла, перпендикулярна до елемента поверхні Δа2, дорівнює h·n. Можна, якщо ми хочемо, вважати ці твердження визначенням h. Подібні ідеї ми застосуємо і до інших векторних полів.