Коли поля змінюються з часом, то їхню зміну можна описати, задавши їхні похідні за t. Ми хочемо також описати і їхню зміну в просторі, тому що нас цікавить зв'язок, скажімо, між температурою в деякій точці і в точці поряд із нею. Як же задати похідну температури за координатою? Диференціювати температуру за x? Чи за y, чи за z?
Осмислені фізичні закони не залежать від орієнтації системи координат. Тому їх потрібно писати так, щоб по обидва боки знака рівності стояли скаляри або вектори. Що ж таке похідна скалярного поля, скажімо, дТ/дх? Чи це скаляр, чи вектор, чи ще щось? Це, як легко зрозуміти, ні те, ні інше, тому що якщо взяти іншу вісь x, то дТ/дх зміниться. Але зауважте: у нас є три можливі похідні: дТ/дх, дT/дy і дT/дz. Три сорти похідних, а ми ж знаємо, що потрібно якраз три числа, щоб утворити вектор. Можливо, ці три похідні й становлять компоненти вектора:
Осмислені фізичні закони не залежать від орієнтації системи координат. Тому їх потрібно писати так, щоб по обидва боки знака рівності стояли скаляри або вектори. Що ж таке похідна скалярного поля, скажімо, дТ/дх? Чи це скаляр, чи вектор, чи ще щось? Це, як легко зрозуміти, ні те, ні інше, тому що якщо взяти іншу вісь x, то дТ/дх зміниться. Але зауважте: у нас є три можливі похідні: дТ/дх, дT/дy і дT/дz. Три сорти похідних, а ми ж знаємо, що потрібно якраз три числа, щоб утворити вектор. Можливо, ці три похідні й становлять компоненти вектора:
Зображення
Ясно, звісно, що, взагалі кажучи, не з будь-яких трьох чисел можна скласти вектор. Про вектор можна говорити тільки тоді, коли при повороті системи координат компоненти перетворюються за правильним законом. Тож слід простежити, як змінюються ці похідні при повороті системи координат. Ми покажемо, що (2.11) — дійсно вектор. Похідні дійсно перетворюються при обертанні системи координат так, як належить.
У цьому можна пересвідчитися по-різному. Можна, наприклад, поставити собі запитання, відповідь на яке не повинна залежати від системи координат, і спробувати виразити відповідь в «інваріантній» формі. Наприклад, якщо S=A·B і якщо А і В — вектори, то ми знаємо (це доведено у вип. 1, розд. 11), що S — скаляр. Ми знаємо, що S — скаляр, не перевіряючи, чи змінюється він при зміні системи координат. Йому нічого іншого не залишається, раз він є скалярним добутком двох векторів. Подібним же чином, якщо ми знаємо, що А — вектор, і в нас є три числа В1, В2 , В3 , і ми виявляємо, що
У цьому можна пересвідчитися по-різному. Можна, наприклад, поставити собі запитання, відповідь на яке не повинна залежати від системи координат, і спробувати виразити відповідь в «інваріантній» формі. Наприклад, якщо S=A·B і якщо А і В — вектори, то ми знаємо (це доведено у вип. 1, розд. 11), що S — скаляр. Ми знаємо, що S — скаляр, не перевіряючи, чи змінюється він при зміні системи координат. Йому нічого іншого не залишається, раз він є скалярним добутком двох векторів. Подібним же чином, якщо ми знаємо, що А — вектор, і в нас є три числа В1, В2 , В3 , і ми виявляємо, що
Зображення
(де S в будь-якій системі координат одне й те саме), то три числа В1, В2 , В3 зобов'язані бути компонентами Вx , Вy , Bz деякого вектора В.
Розглянемо тепер температурне поле. Візьмемо дві точки Р1 і Р2, розділені малою відстанню ΔR. Температура в P1 є T1, а в Р2 вона дорівнює Т2, і їхня різниця ΔТ=Т2—Т1. Температура в цих реальних фізичних точках, звісно, не залежить від того, які осі ми обрали для вимірювання координат. Зокрема, ΔT— теж число, що не залежить від системи координат. Це скаляр.
Обравши зручну систему координат, ми можемо написати
T1 = T(x, y, z) і Т2 = Т(х + Δх, у+Δу, z + Δz),
де Δх, Δy, Δz — компоненти вектора ΔR (фіг. 2.5). Пригадавши (2.7), напишемо
Розглянемо тепер температурне поле. Візьмемо дві точки Р1 і Р2, розділені малою відстанню ΔR. Температура в P1 є T1, а в Р2 вона дорівнює Т2, і їхня різниця ΔТ=Т2—Т1. Температура в цих реальних фізичних точках, звісно, не залежить від того, які осі ми обрали для вимірювання координат. Зокрема, ΔT— теж число, що не залежить від системи координат. Це скаляр.
Обравши зручну систему координат, ми можемо написатиT1 = T(x, y, z) і Т2 = Т(х + Δх, у+Δу, z + Δz),
де Δх, Δy, Δz — компоненти вектора ΔR (фіг. 2.5). Пригадавши (2.7), напишемо
Зображення
Зліва в (2.13) стоїть скаляр, а справа — сума трьох добутків якихось чисел на Δx, Δy, Δz, які є компонентами вектора. Отже, три числа
Зображення
— теж x-, y- і z-компоненти вектора. Ми напишемо цей новий вектор за допомогою символу ∇T. Символ ∇ (званий набла) — це Δ догори ногами; він нагадує нам про диференціювання. Читають ∇T по-різному: «набла T», або «градієнт T», або «gradT»
Зображення
З цим позначенням (2.13) переписується в більш компактній формі
Зображення
Або, висловлюючи словами: різниця температур у двох близьких точках є скалярний добуток градієнта T на вектор зміщення другої точки відносно першої. Форма (2.15) також слугує ілюстрацією до нашого твердження, що ∇T — дійсно вектор.
Можливо, ви ще не переконані? Тоді доведемо інакше. (Хоча, придивившись уважно, ви побачите, що це насправді те саме доведення, тільки довше!) Ми покажемо, що компоненти ∇T перетворюються абсолютно так само, як і компоненти R, а отже, ∇T — теж вектор відповідно до первісного визначення вектора у вип. 1, розд. 11. Ми оберемо нову систему координат х′, у′, z′ і в ній обчислимо дТ/дх′, дТ/ду′, дТ/dz′. Для простоти покладемо z=z′, так що про третю координату ми можемо забути. (Можете самі зайнятися перевіркою більш загального випадку.)
Оберемо систему x′, y′, повернуту відносно х, y-системи на кут θ (фіг. 2.6, а). Координати точки (x, y) у штрихованій системі мають вигляд
Можливо, ви ще не переконані? Тоді доведемо інакше. (Хоча, придивившись уважно, ви побачите, що це насправді те саме доведення, тільки довше!) Ми покажемо, що компоненти ∇T перетворюються абсолютно так само, як і компоненти R, а отже, ∇T — теж вектор відповідно до первісного визначення вектора у вип. 1, розд. 11. Ми оберемо нову систему координат х′, у′, z′ і в ній обчислимо дТ/дх′, дТ/ду′, дТ/dz′. Для простоти покладемо z=z′, так що про третю координату ми можемо забути. (Можете самі зайнятися перевіркою більш загального випадку.)
Оберемо систему x′, y′, повернуту відносно х, y-системи на кут θ (фіг. 2.6, а). Координати точки (x, y) у штрихованій системі мають виглядЗображення
або, розв'язуючи відносно x і y,
Зображення
Якщо будь-яка пара чисел перетворюється так само, як х і у, то вона є компонентами вектора.Розглянемо тепер різницю в температурах двох сусідніх точок Р1 і Р2 (фіг. 2.6, б). У координатах x, у запишемо
Зображення
оскільки Δу = 0.
А у штрихованій системі? Там ми б написали
А у штрихованій системі? Там ми б написали
Зображення
Дивлячись на фіг. 2.6, б, ми бачимо, що
оскільки Δу від'ємне при додатному Δx. Підставляючи в (2.21), отримуємо
оскільки Δу від'ємне при додатному Δx. Підставляючи в (2.21), отримуємо
Зображення
Порівнюючи (2.25) з (2.20), ми бачимо, що
Зображення
Це рівняння каже нам, що дТ/дх отримується з дТ/дх` і дТ/ду` достеменно так само, як x із x` і у` в (2.18). Отже, дТ/дх — це x -компонента вектора. Подібні ж міркування показують, що дТ/ду і dT/dz є y- і z-компонентами. Виходить, ∇T справді є вектором. Це векторне поле, утворене зі скалярного поля T.
Зображення
