Ми застосували наші знання звичайної векторної алгебри до алгебри оператора ∇. Тут потрібно бути обережним, інакше легко наплутати. Треба згадати про дві пастки (втім, у нашому курсі вони не зустрінуться). Що ви можете сказати про такий вираз, куди входять дві скалярні функції -ψ і φ (фі):
Зображення
Ви можете подумати, що це нуль, тому що воно схоже на
Зображення
а це завжди дорівнює нулю (векторний добуток двох однакових векторів АхА завжди нуль). Але в нашому прикладі два оператори v зовсім не однакові! Перший діє на одну функцію, ψ, а другий — на іншу, φ. І хоча ми зображуємо їх одним і тим самим значком v, вони все ж мають розглядатися як різні оператори. Напрямок ∇ψ залежить від функції ψ, а напрямок ∇φ — від функції φ, так що вони не зобов'язані бути паралельними:
Зображення
На щастя, до таких виразів ми вдаватися не будемо. (Але сказане нами не змінює того факту, що ∇φ Х ∇ψ=0 у будь-якому скалярному полі: тут обидва v діють на одну й ту саму функцію.) Пастка номер два (вона теж у нашому курсі не зустрінеться): правила, які ми тут намітили, виглядають просто і красиво лише в прямокутних координатах. Наприклад, якщо ми хочемо написати x-компоненту виразу ∇2h, то одразу пишемо
Зображення
Але цей вираз не годиться, якщо ми шукаємо радіальну компоненту ∇2h. Вона не дорівнює ∇2hr. Річ у тім, що в алгебрі векторів усі їхні напрямки повністю визначені. А коли ми маємо справу з векторними полями, то їхні напрямки в різних місцях різні. Коли ми намагаємося описати векторне поле, наприклад, у полярних координатах, то «радіальний» напрямок змінюється від точки до точки. І почавши диференціювати компоненти, ви запросто можете потрапити в біду. Навіть у постійному векторному полі радіальна компонента від точки до точки змінюється.
Зазвичай найбезпечніше і найпростіше триматися прямокутних координат. Але варто згадати й один виняток: оскільки лапласіан ∇2 є скаляр, то можна писати його в будь-якій системі координат (скажімо, у полярних координатах). Але оскільки це диференціальний оператор, то застосовувати його треба тільки до векторів із фіксованим напрямком компонент, тобто до заданих у прямокутних координатах. Отже, розписуючи наші векторні диференціальні рівняння покомпонентно, ми будемо попередньо виражати всі наші векторні поля через їхні х-, у-, z-компоненти.
Зазвичай найбезпечніше і найпростіше триматися прямокутних координат. Але варто згадати й один виняток: оскільки лапласіан ∇2 є скаляр, то можна писати його в будь-якій системі координат (скажімо, у полярних координатах). Але оскільки це диференціальний оператор, то застосовувати його треба тільки до векторів із фіксованим напрямком компонент, тобто до заданих у прямокутних координатах. Отже, розписуючи наші векторні диференціальні рівняння покомпонентно, ми будемо попередньо виражати всі наші векторні поля через їхні х-, у-, z-компоненти.