Закон Кулона; накладання сил

Логічно було б узяти за відправну точку рівняння (4.5) і (4.6). Але легше почати з іншого, а потім повернутися до цих рівнянь. Результат вийде однаковим. Ми почнемо із закону, про який говорилося раніше,— із закону Кулона, який стверджує, що між двома нерухомими зарядами діє сила, прямо пропорційна добутку зарядів і обернено пропорційна квадрату відстані між ними. Сила напрямлена по прямій від одного заряда до іншого.

тут F₁ —сила, що діє на заряд q₁; e₁₂ — одиничний вектор, напрямлений від q₂ до q₁, а r₁₂— відстань між q₁ і q₂. Сила F₂, що діє на q₂, дорівнює і протилежна силі F₁.
 
Множник пропорційності з історичних причин пишеться у вигляді 1/4πε₀. У системі одиниць СІ, якою ми користуємося, він визначається як 10^-7 від квадрата швидкості світла. Оскільки швидкість світла приблизно 3·10⁸ м/с, то множник приблизно дорівнює 9·10⁹, і одиниця виявляється рівною ньютон ·м²/кулон², або вольт·м/ кулон

Якщо зарядів більше двох (а саме такі випадки найцікавіші), то закон Кулона потрібно доповнити іншим фактом, що існує в природі: сила, яка діє на заряд, є векторною сумою кулонівських сил, що діють з боку всіх інших зарядів. Цей експериментальний факт називається «принципом накладання», або «принципом суперпозиції». Це і є все, що є в електростатиці. Якщо додати до закону Кулона принцип накладання, то більше нічого в ній не залишиться. До точно таких самих висновків, ні більше, ні менше, приведуть рівняння електростатики, рівняння (4.5) і  (4.6).
 
Застосовуючи закон Кулона, зручно ввести поняття електричного поля. Ми кажемо, що поле Е(1) — це сила, яка діє з боку інших зарядів на одиницю заряду q₁. Ділячи (4.9) на q₁ ми отримуємо для дії всіх зарядів, крім q₁

Крім того, ми вважаємо, що Е(1) описує щось, що існує в точці (1), навіть якщо в ній немає заряду q₁ (за припущення, що всі інші заряди зберегли свої позиції). Ми кажемо: Е(1) — це електричне поле в точці (1).
 
Електричне поле Е — це вектор, так що в (4.11) насправді записано три рівняння, по одному для кожної компоненти.   Розписуючи  x-компоненту  у  явному вигляді,  отримуємо

і точно так само для решти компонент.
 
Якщо зарядів багато, то поле Е в будь-якій точці (1) дорівнює сумі внесків від усіх зарядів. Кожен член суми матиме вигляд (4.11) або (4.12). Нехай q_j - величина j-го заряда, а r_1j — зміщення q_j   від  точки (1); тоді ми напишемо

що означає, звісно,

і т. д.
 
Часто буває зручно ігнорувати той факт, що заряди завжди існують у вигляді окремих шматочків, таких, як електрони або протони, а вважати, що вони розмазані суцільною плямою, або, як кажуть, описуються «розподілом». Доки нам байдуже, що відбувається в малих масштабах, такий опис цілком законний. Розподіл заряду описується «густиною заряду» ρ (х, у, z). Якщо кількість заряду в невеликому об'ємі ΔV₂ поблизу точки (2) є Δq₂, то ρ визначається рівністю

Користуючись тепер законом Кулона для неперервного розподілу заряду, ми замінюємо в рівняннях (4.13) або (4.14) суми інтегралами по всьому об'єму, що містить заряди. Отримуємо

Дехто воліє писати

де r₁₂ — вектор зміщення   від (2) до (1) (фіг. 4.1).   Інтеграл для Е тоді запишеться у вигляді

Якщо ми хочемо  справді   довести  інтегрування до кінця, то зазвичай доводиться розписувати інтеграли докладніше. Для x -компоненти рівнянь (4.16) або (4.17) отримуємо

Ми не збираємося обчислювати щось за цією формулою. Написали ми її тут лише для того, щоб підкреслити, що ми повністю розв'язали ті електростатичні задачі, у яких відоме розташування всіх зарядів.
     Дано: Заряди.
           Визначити: Поля.
                   Розв'язання: Візьми цей інтеграл.
 
Отже, по суті все зроблено; залишається тільки провести складні інтегрування за трьома змінними. Ця робота якраз для лічильної машини!
 
Користуючись цими інтегралами, ми можемо знайти поле зарядженої площини, зарядженої лінії, зарядженої сфери і будь-якого обраного розподілу. Хоча ми зараз почнемо креслити силові лінії, говорити про потенціали й обчислювати дивергенції, важливо розуміти, що відповідь на всі задачі, які розв'язуються, у принципі вже готова. Просто часом буває легше взяти інтеграл, придумавши фокус, ніж проробляти всі викладки чесно. Але щоб здогадуватися, потрібно навчитися різних хитрощів. Можливо, було б краще обчислювати інтеграли безпосередньо, а не витрачати сили на дотепні способи розв'язання та демонструвати свою кмітливість. Але все ж ми підемо шляхом розвитку кмітливості. Переходимо, таким чином, до обговорення деяких інших особливостей електричного поля.