Закон Гаусса; дивергенція поля Е

Наш вишуканий результат — рівняння (4.32) — було доведено для окремого точкового заряда. А тепер припустімо, що є два заряди: заряд q₁—в одній точці і заряд q₂ — в іншій.  Задача виглядає вже складніше.  Тепер електричне поле, нормальну складову якого ми інтегруємо, це вже поле, створене обома зарядами. Інакше кажучи, якщо E₁ — це електричне поле, яке створив би тільки один заряд q₁ a E₂ — електричне поле, створюване одним зарядом q₂, то сумарне електричне поле дорівнює Е = E₁+E₂. Потік через довільну замкнену поверхню S дорівнює

Потік за наявності двох зарядів — це потік, викликаний одним зарядом, плюс потік, викликаний іншим. Якщо обидва перебувають зовні S, то потік крізь S дорівнює нулю. Якщо q₁ перебуває всередині S, a q₂ — зовні, то перший інтеграл дасть q₁/ε₀, а другий — нуль. Якщо поверхня оточує обидва заряди, то кожен зробить внесок в інтеграл, і потік виявиться рівним (q₁ + q₂)/ε₀. Загальне правило очевидне: сумарний потік із замкненої поверхні дорівнює сумарному заряду всередині неї, поділеному на ε₀.
 
Цей результат являє собою важливий загальний закон електростатичного поля, і називається він теоремою Гаусса, або законом Гаусса:

Якщо ми описуємо розташування зарядів мовою густини зарядів ρ, то ми можемо вважати, що кожен нескінченно малий об'єм dV містить «точковий» заряд ρdV. Тоді сума по всіх зарядах є інтегралом

З нашого висновку видно, що закон Гаусса випливає з того факту, що показник степеня в законі Кулона точно дорівнює двом. Поле із законом 1/r³, та й будь-яке поле 1/rⁿ з n≠2, не привело б до закону Гаусса. Отже, закон Гаусса якраз виражає (тільки в іншій формі) закон сил Кулона, що діють між двома зарядами. Дійсно, відштовхуючись від закону Гаусса, можна вивести закон Кулона. Обидва вони цілком рівноцінні до того моменту, поки сили між зарядами діють радіально.
 
Тепер ми хочемо записати закон Гаусса мовою похідних. Щоб це зробити, застосуємо його до поверхні нескінченно малого куба. У розд. 3 ми показали, що потік Е з такого куба дорівнює дивергенції ∇·Е, помноженій на об'єм dV куба. Заряд усередині dV за визначенням ρ дорівнює ρdV, так що закон Гаусса дає

або

Диференціальна форма закону Гаусса — це перше з наших фундаментальних рівнянь поля в електростатиці, рівняння (4.5). Ми тепер показали, що два рівняння електростатики (4.5) і (4.6) еквівалентні закону сили Кулона. Розберемо один приклад застосування закону Гаусса (інші приклади будуть розглянуті пізніше).