Тепер ми хочемо вивести рівняння, яке безпосередньо і в лоб враховує той факт, що закон сили — це закон обернених квадратів. Дехто вважає «цілком природним», що поле змінюється обернено пропорційно квадрату відстані, тому що «саме так, мовляв, усе поширюється». Візьміть світлове джерело, з якого ллється потік світла; кількість світла, що проходить через основу конуса з вершиною в джерелі, одна й та сама незалежно від того, наскільки основа віддалена від вершини. Це з необхідністю випливає із збереження світлової енергії. Кількість світла на одиницю площі — інтенсивність — повинна бути обернено пропорційною площі, вирізаній конусом, тобто квадрату відстані від джерела. Зрозуміло, що з тієї самої причини й електричне поле повинно змінюватися обернено квадрату відстані!
Але тут же немає нічого схожого на «ту саму причину». Адже ніхто не може сказати, що електричне поле є мірою чогось такого, що схоже на світло і що тому повинно зберігатися. Якби у нас була така «модель» електричного поля, у якій вектор поля представляв би напрямок і швидкість (ну, наприклад, був би струмом) якихось маленьких «дробинок», що вилітають, і якби ця модель вимагала, щоб число дробинок зберігалося і жодна не могла зникнути після вильоту із заряда, ось тоді ми могли б казати, що «відчуваємо» неминучість закону обернених квадратів. З іншого боку, неодмінно повинен був би існувати математичний спосіб вираження цієї фізичної ідеї. Якби електричне поле було подібне до дробинок, що зберігаються, то воно змінювалося б обернено пропорційно квадрату відстані, і ми могли б описати таку поведінку якимось рівнянням, тобто суто математичним шляхом. Якщо ми не стверджуємо, що електричне поле зроблене з дробинок, а розуміємо, що це просто модель, яка допомагає нам прийти до правильної математичної теорії, то нічого поганого в такому способі міркувань немає.
Припустімо, що ми на мить уявили собі електричне поле у вигляді потоку чогось, що зберігається і тече всюди, за винятком того місця, де розташований сам заряд (адже цей потік має звідкись починатися!). Уявімо щось (що саме — неважливо), що витікає із заряда в навколишній простір. Якби Е було вектором такого потоку (як h — вектор теплового потоку), то поблизу точкового джерела воно мало б залежність 1/r2. Тепер ми бажаємо використати цю модель для того, щоб глибше сформулювати закон обернених квадратів, а не просто говорити про «обернені квадрати». (Вам може здатися дивним, чому замість того, щоб одразу, прямо й відкрито сформулювати такий простий закон, ми хочемо боязко протягти те саме, але з чорного ходу. Трохи терпіння! Це виявиться небезкорисним.)
Запитаємо себе: чому дорівнює «витікання» Е з довільної замкненої поверхні в околі точкового заряда? Для початку візьмемо простеньку поверхню — таку, як показано на фіг. 4.5. Якщо поле Е схоже на потік, то сумарне витікання з цього ящика повинно дорівнювати нулю. Це й виходить, якщо під «витіканням» з цієї поверхні ми розуміємо поверхневий інтеграл від нормальної складової Е, тобто потік Е в тому сенсі, який було встановлено в розд. 3. На бічних гранях нормальна складова Е дорівнює нулю. На сферичних гранях нормальна складова Е дорівнює самій величині Е, з мінусом на меншій грані і з плюсом на більшій. Величина Е спадає як 1/r2, а площа грані росте як r2, так що їхній добуток від r не залежить. Приплив Е через грань a точно гаситься відпливом через грань b. Сумарний потік через S дорівнює нулю, а це все одно, що сказати, що
Але тут же немає нічого схожого на «ту саму причину». Адже ніхто не може сказати, що електричне поле є мірою чогось такого, що схоже на світло і що тому повинно зберігатися. Якби у нас була така «модель» електричного поля, у якій вектор поля представляв би напрямок і швидкість (ну, наприклад, був би струмом) якихось маленьких «дробинок», що вилітають, і якби ця модель вимагала, щоб число дробинок зберігалося і жодна не могла зникнути після вильоту із заряда, ось тоді ми могли б казати, що «відчуваємо» неминучість закону обернених квадратів. З іншого боку, неодмінно повинен був би існувати математичний спосіб вираження цієї фізичної ідеї. Якби електричне поле було подібне до дробинок, що зберігаються, то воно змінювалося б обернено пропорційно квадрату відстані, і ми могли б описати таку поведінку якимось рівнянням, тобто суто математичним шляхом. Якщо ми не стверджуємо, що електричне поле зроблене з дробинок, а розуміємо, що це просто модель, яка допомагає нам прийти до правильної математичної теорії, то нічого поганого в такому способі міркувань немає.
Припустімо, що ми на мить уявили собі електричне поле у вигляді потоку чогось, що зберігається і тече всюди, за винятком того місця, де розташований сам заряд (адже цей потік має звідкись починатися!). Уявімо щось (що саме — неважливо), що витікає із заряда в навколишній простір. Якби Е було вектором такого потоку (як h — вектор теплового потоку), то поблизу точкового джерела воно мало б залежність 1/r2. Тепер ми бажаємо використати цю модель для того, щоб глибше сформулювати закон обернених квадратів, а не просто говорити про «обернені квадрати». (Вам може здатися дивним, чому замість того, щоб одразу, прямо й відкрито сформулювати такий простий закон, ми хочемо боязко протягти те саме, але з чорного ходу. Трохи терпіння! Це виявиться небезкорисним.)
Запитаємо себе: чому дорівнює «витікання» Е з довільної замкненої поверхні в околі точкового заряда? Для початку візьмемо простеньку поверхню — таку, як показано на фіг. 4.5. Якщо поле Е схоже на потік, то сумарне витікання з цього ящика повинно дорівнювати нулю. Це й виходить, якщо під «витіканням» з цієї поверхні ми розуміємо поверхневий інтеграл від нормальної складової Е, тобто потік Е в тому сенсі, який було встановлено в розд. 3. На бічних гранях нормальна складова Е дорівнює нулю. На сферичних гранях нормальна складова Е дорівнює самій величині Е, з мінусом на меншій грані і з плюсом на більшій. Величина Е спадає як 1/r2, а площа грані росте як r2, так що їхній добуток від r не залежить. Приплив Е через грань a точно гаситься відпливом через грань b. Сумарний потік через S дорівнює нулю, а це все одно, що сказати, щоЗображення
на цій поверхні.Тепер покажемо, що дві «торцеві» .поверхні можуть бути без шкоди для величини інтеграла (4.30) перекошені відносно радіуса. Хоча це вірно завжди, але для наших цілей достатньо лише показати, що це справедливо тоді, коли «торці» малі й стягують малий кут з вершиною в джерелі, тобто насправді нескінченно малий кут. На фіг. 4.6 показана поверхня S, «бічні грані» якої радіальні, а «торці» перекошені. На малюнку вони не малі, але треба уявити собі, що насправді вони дуже малі. Тоді поле Е над поверхнею буде досить однорідним, так що можна взяти його значення в центрі. Якщо торець нахилений на кут θ, то його площа зростає в 1/cos θ разів, а Еn — компонента Е, нормальна до поверхні торця, спадає в cos θ разів, так що добуток ЕnΔа не змінюється. Потік з усієї поверхні S як і раніше дорівнює нулю.
Тепер уже легко розгледіти, що й потік з об'єму, оточеного довільною поверхнею S, повинен дорівнювати нулю. Адже будь-який об'єм можна уявити собі складеним з таких частин, як на фіг. 4.6. Вся поверхня поділиться на пари торцевих ділянок, а оскільки потоки через кожну з них усередину і назовні об'єму попарно знищуються, то й сумарний потік через поверхню обернеться в нуль. Ця ідея ілюструється фіг. 4.7. Ми отримуємо цілком загальний результат: сумарний потік Е через будь-яку поверхню S у полі точкового заряда дорівнює нулю.
Будьте, однак, уважні! Наше доведення працює тільки тоді, коли поверхня S не оточує заряд. А що сталося б, якби точковий заряд опинився всередині поверхні? Як і раніше, поверхню можна було б поділити на пари площадок, пов'язаних радіальними прямими, що проходять через заряд (фіг. 4.8). Потоки через ці ділянки з тієї самої причини, що й раніше, як і раніше, попарно рівні, але тільки тепер їхні знаки однакові. Потік з поверхні, що оточує заряд, не дорівнює нулю. Тоді чому ж він дорівнює? Це можна визначити за допомогою фокуса.
Припустімо, що ми «прибрали» заряд «зсередини», оточивши його маленькою поверхнею S′ так, щоб вона лежала цілком усередині первісної поверхні S (фіг. 4.9). Тепер в об'ємі, укладеному між двома поверхнями S і S′, жодного заряда немає. Загальний потік з цього об'єму (включно з потоком через S`) дорівнює нулю, у чому можна переконатися за допомогою попередніх аргументів. Вони кажуть нам, що потік через S` усередину об'єму такий самий, як потік через S назовні.
Для S` ми можемо обрати будь-яку, яку завгодно форму, тому давайте зробимо її сферою із зарядом у центрі (фіг. 4.10). Тоді потік через неї підрахувати легко. Якщо радіус малої сфери дорівнює r, то значення Е всюди на її поверхні дорівнюєЗображення
і напрямлене завжди по нормалі до поверхні. Увесь потік через S` вийде, якщо цю нормальну складову Е помножити на площу поверхні:
Зображення
тобто дорівнює числу, яке не залежить від радіуса сфери! Отже, і потік назовні через S також дорівнює q/ε0 ; це значення не залежить від форми S доти, доки заряд q перебуває всередині. Наші висновки ми можемо записати так:
Зображення
Повернімося до нашої аналогії з «дробинками» і подивімося, чи є в ній сенс. Наша теорема стверджує, що сумарний потік дробинок через поверхню дорівнює нулю, якщо поверхня не оточує собою рушницю, що стріляє дробом. А якщо рушниця оточена поверхнею, то якого б розміру чи форми вона не була, кількість дробинок, що проходять через неї, завжди та сама — вона задається швидкістю, з якою дробинки вилітають з рушниці. Усе це виглядає цілком розумно для дробинок, що зберігаються. Але чи повідомляє ця модель нам хоч щось понад те, що виходить просто з рівняння (4.32)? Нікому не вдалося домогтися того, щоб «дробинки» породили щось понад цей закон. Крім нього, вони породжують тільки помилки. Тому-то ми сьогодні надаємо перевагу чисто абстрактному уявленню про електромагнітне поле.