Одна з найважчих задач, яку нам довелося розв'язувати, коли ми вивчали теорію гравітаційного притягання, полягала в тому, щоб довести, що сила, створювана твердою кулею на її поверхні, така сама, як якби вся речовина кулі була сконцентрована в її центрі. Багато років Ньютон не наважувався оприлюднити свою теорію тяжіння, оскільки не був упевнений у правильності цієї теореми. Ми довели її у вип. 1, розд. 13, узявши інтеграл для потенціалу й обчисливши силу тяжіння за градієнтом. Тепер цю теорему ми можемо довести дуже просто. Але цього разу ми доведемо не зовсім її, а схожу теорему для однорідно зарядженої електрикою кулі. (Оскільки закони електростатики і тяжіння збігаються, те саме доведення може бути проведене і для поля тяжіння.)
Поставимо запитання: яким є електричне поле Е в точці P десь зовні сфери, наповненої однорідно розподіленим зарядом? Оскільки тут немає «виділеного» напрямку, то законно припустити, що Е всюди напрямлене прямо від центра сфери. Розглянемо уявну сферичну поверхню, концентричну зі сферою зарядів і таку, що проходить через точку P (фіг. 4.11). Для цієї сфери потік назовні дорівнює
Поставимо запитання: яким є електричне поле Е в точці P десь зовні сфери, наповненої однорідно розподіленим зарядом? Оскільки тут немає «виділеного» напрямку, то законно припустити, що Е всюди напрямлене прямо від центра сфери. Розглянемо уявну сферичну поверхню, концентричну зі сферою зарядів і таку, що проходить через точку P (фіг. 4.11). Для цієї сфери потік назовні дорівнюєЗображення
Закон Гаусса стверджує, що цей потік дорівнює сумарному заряду сфери Q (поділеному на ε0):
Зображення
або
Зображення
а це якраз та формула, яка вийшла б для точкового заряда Q. Ми розв'язали проблему Ньютона простіше, без інтеграла. Звісно, це вдавана простота; вам довелося витратити якийсь час на те, щоб розібратися в законі Гаусса, і ви можете думати, що насправді час анітрохи не заощаджено. Але коли вам доведеться часто застосовувати цю теорему, вона практично окупиться. Уся справа в звичці.