Почнемо тепер докладне вивчення теорії електромагнетизму. Вона вся (весь електромагнетизм цілком) захована в рівняннях Максвелла:
Зображення
Явища, які описуються цими рівняннями, можуть бути дуже складними. Але перш ніж перейти до складніших, ми почнемо з порівняно простих і спершу навчимося з ними поводитися. Найлегшим для вивчення є випадок, який називають статичним. Це випадок, коли від часу нічого не залежить, коли всі заряди або намертво закріплені на своїх місцях, або якщо вже рухаються, то їхній струм сталий (тобто ρ і j сталі в часі). За цих умов у рівняннях Максвелла всі члени, що є похідними за часом, обертаються в нуль, і рівняння набувають такого вигляду:
Зображення
Зображення
Зверніть увагу на цікаву властивість цієї системи чотирьох рівнянь. Вона розпалася на дві частини. Електричне поле Е з'являється тільки в першій парі рівнянь, а магнітне поле В — тільки в другій. Між собою ці два поля зовсім не пов'язані. Це означає, що якщо вже заряди й струми постійні, то електрика й магнетизм — явища різні. Не можна виявити жодної залежності полів Е і В одне від одного, доки не виникають зміни в зарядах або струмах, скажімо, доки конденсатор не почне заряджатися або магніт рухатися. Тільки коли виникають порівняно швидкі зміни, так що часові похідні в рівняннях Максвелла досягають помітної величини, Е і В починають впливати одне на одного.
Якщо ви вдивитеся в рівняння статики, то виявите, що для вивчення математичних властивостей векторних полів ці два предмети — електростатика і магнітостатика — є ідеальним об'єктом. Електростатика — це чистий приклад векторного поля з нульовим ротором і заданою дивергенцією, а магнітостатика — найчистіший приклад поля з нульовою дивергенцією і заданим ротором. Більш загальноприйнятий (і, можливо, з чиєїсь точки зору більш задовільний) шлях викладу теорії електромагнетизму полягає в тому, щоб почати з електростатики і вивчити тим самим усе про дивергенцію. Магнітостатику і ротор залишають на потім. І лише наприкінці об'єднують і електрику, і магнетизм. Ми ж із вами почали з повної теорії векторного числення. Застосуємо тепер її до окремого випадку електростатики, до поля Е, яке задається першою парою рівнянь.
Почнемо з найпростіших задач, у яких положення всіх зарядів фіксовані. Якби нам потрібно було вивчити електростатику тільки на цьому рівні (а саме цим ми й будемо займатися в найближчих двох розділах), то життя наше було б дуже простим. Усе було б майже тривіальним, і нам знадобився б, як ви в цьому зараз переконаєтесь, лише закон Кулона та кілька інтегрувань. Однак у багатьох реальних електростатичних задачах ми спочатку не знаємо, де перебувають заряди. Ми знаємо тільки, що вони залежно від властивостей речовини розподілилися якось і десь. Положення, якого набудуть заряди, залежить від поля Е, а воно, своєю чергою, залежить від розташування зарядів. І тоді все одразу ускладнюється. Якщо, наприклад, заряджене тіло піднесено до провідника або до ізолятора, то електрони й протони в провіднику або ізоляторі почнуть перетікати на нове місце. Одна частина густини заряду ρ у рівнянні (4.5) буде нам відома — це той заряд, який ми підносимо; але в ρ увійдуть і інші частини від тих зарядів, які перетікають. Ми будемо змушені врахувати рух усіх зарядів. Виникнуть доволі тонкі й цікаві задачі.
Однак цей розділ, хоч він і присвячений електростатиці, не торкатиметься найкрасивіших і найтонших питань цієї науки. У ньому будуть розглянуті лише такі ситуації, у яких можна припустити, що розташування всіх зарядів відоме. Але й у цьому випадку, перш ніж навчитися давати раду складним випадкам, природно спершу освоїтися з простими.
Якщо ви вдивитеся в рівняння статики, то виявите, що для вивчення математичних властивостей векторних полів ці два предмети — електростатика і магнітостатика — є ідеальним об'єктом. Електростатика — це чистий приклад векторного поля з нульовим ротором і заданою дивергенцією, а магнітостатика — найчистіший приклад поля з нульовою дивергенцією і заданим ротором. Більш загальноприйнятий (і, можливо, з чиєїсь точки зору більш задовільний) шлях викладу теорії електромагнетизму полягає в тому, щоб почати з електростатики і вивчити тим самим усе про дивергенцію. Магнітостатику і ротор залишають на потім. І лише наприкінці об'єднують і електрику, і магнетизм. Ми ж із вами почали з повної теорії векторного числення. Застосуємо тепер її до окремого випадку електростатики, до поля Е, яке задається першою парою рівнянь.
Почнемо з найпростіших задач, у яких положення всіх зарядів фіксовані. Якби нам потрібно було вивчити електростатику тільки на цьому рівні (а саме цим ми й будемо займатися в найближчих двох розділах), то життя наше було б дуже простим. Усе було б майже тривіальним, і нам знадобився б, як ви в цьому зараз переконаєтесь, лише закон Кулона та кілька інтегрувань. Однак у багатьох реальних електростатичних задачах ми спочатку не знаємо, де перебувають заряди. Ми знаємо тільки, що вони залежно від властивостей речовини розподілилися якось і десь. Положення, якого набудуть заряди, залежить від поля Е, а воно, своєю чергою, залежить від розташування зарядів. І тоді все одразу ускладнюється. Якщо, наприклад, заряджене тіло піднесено до провідника або до ізолятора, то електрони й протони в провіднику або ізоляторі почнуть перетікати на нове місце. Одна частина густини заряду ρ у рівнянні (4.5) буде нам відома — це той заряд, який ми підносимо; але в ρ увійдуть і інші частини від тих зарядів, які перетікають. Ми будемо змушені врахувати рух усіх зарядів. Виникнуть доволі тонкі й цікаві задачі.
Однак цей розділ, хоч він і присвячений електростатиці, не торкатиметься найкрасивіших і найтонших питань цієї науки. У ньому будуть розглянуті лише такі ситуації, у яких можна припустити, що розташування всіх зарядів відоме. Але й у цьому випадку, перш ніж навчитися давати раду складним випадкам, природно спершу освоїтися з простими.