Електричний потенціал

Для початку засвоїмо поняття електричного потенціалу, пов'язане з роботою перенесення заряду з однієї точки в іншу. Нехай є якийсь розподіл зарядів. Він створює електричне поле. Запитується, яку роботу треба витратити, щоб перенести невеликий заряд з однієї точки в іншу? Робота, виконана проти дії електричних сил при перенесенні заряду певним шляхом, дорівнює мінус компоненті електричної сили в напрямку руху, проінтегрованій по цьому шляху. Якщо заряд переноситься від точки a до точки b, то

де F — електрична сила, що діє на заряд у кожній точці, a ds — диференціал вектора переміщення вздовж траєкторії (фіг. 4.2).
Для наших цілей цікавіше розглянути роботу перенесення одиниці заряду. Тоді сила, що діє на такий заряд, чисельно збігається з електричним полем. Позначаючи в цьому разі роботу проти дії електричних сил буквою W_од, напишемо

Взагалі кажучи, те, що виходить при інтегруваннях такого сорту, залежить від обраного шляху інтегрування. Але якби інтеграл у (4.19) залежав від шляху, ми могли б добути з поля роботу, піднісши заряд до b одним шляхом і забравши назад до a іншим. Можна було б підійти до b тим шляхом, де W менше, а віддалитися тим шляхом, де воно більше, здобувши роботи більше, ніж було вкладено.
 
У принципі немає нічого неможливого в тому, щоб добувати роботу з поля. Ми ще познайомимося з полями, у яких це можливо. Може виявитися, що, рухаючи заряди, ви дієте на решту частини всього «механізму» з якоюсь силою. Якщо «механізм» сам рухається проти цієї сили, він втрачатиме енергію, і повна енергія тим самим залишатиметься сталою. В електростатиці, однак, жодного «механізму» немає. Ми знаємо, якими є ті сили віддачі, що діють на джерела поля. Це кулонівські сили, що діють на заряди, відповідальні за створення поля. Якщо положення всіх інших зарядів зафіксовані (а це припущення робиться тільки в електростатиці), то сили віддачі на них не зможуть діяти. І тоді немає способу добути з них енергію, звісно, за умови, що принцип збереження енергії в електростатиці справедливий. Ми, звісно, віримо, що це так, однак спробуємо все ж показати, як це випливає із закону сили Кулона.
Подивимося спершу, що відбувається в полі, створеному одиничним зарядом q. Нехай точка a віддалена від q на відстань r₁, а точка b — на відстань r₂. Перенесемо тепер інший заряд, який називається «пробним» і дорівнює одиниці, від a до b. Оберемо спершу найлегший для розрахунку шлях. Перенесемо наш пробний заряд спочатку по дузі кола, а потім— по радіусу  (фіг.  4.3,  a). Розрахувати роботу перенесення таким шляхом — дитяча забавка (інакше ми б його й не обрали). По-перше, на ділянці аа` робота не виконується. Поле за законом Кулона радіальне, тобто напрямлене впоперек напрямку руху. По-друге, на ділянці а`b поле змінюється як 1/r² і напрямлене по руху. Тож робота перенесення пробного заряда від a до b дорівнює

Оберемо тепер інший легкий шлях, скажімо той, що зображений на фіг. 4.3, б. Він іде почергово то по дузі кола, то по радіусу. Щоразу, коли шлях пролягає по дузі, жодна робота не витрачається. Щоразу, коли шлях іде по радіусу, інтегрується 1/r². По першій радіальній ділянці інтеграл береться від r_a до r_a′ , по наступній — від r_a′ до r_a′′ і т. д. Сума всіх таких інтегралів якраз дорівнює одному інтегралу, але в межах від r_a до r_ь. Загалом вийде та сама відповідь, що й на першому випробуваному нами шляху. Зрозуміло, що й для будь-якого шляху, складеного з довільного числа ділянок такого вигляду, вийде той самий результат.
Ну а як щодо плавних траєкторій? Чи отримаємо ми ту саму відповідь? Це питання ми обговорили у вип. 1, розд. 13. Користуючись тими самими доводами, що й тоді,  ми можемо зробити висновок, що робота перенесення одиничного  заряда  від   a   до   b   від   шляху  не залежить:

А оскільки виконувана робота залежить тільки від кінців шляху, то вона може бути представлена у вигляді різниці двох чисел. У цьому можна переконатися таким чином. Оберемо відправну точку Р₀ і домовимося оцінювати наш інтеграл, користуючись тільки тими траєкторіями, що проходять через точку Р₀. Позначимо роботу, виконану при русі проти поля від Р₀  до точки a, через φ (a), а роботу на ділянці від Р₀  до точки b — через φ(b) (фіг. 4.4). Робота переходу від а до Р₀ (по дорозі до b)  дорівнює  φ (a) з мінусом,  так що

Оскільки всюди зустрічатиметься тільки різниця значень функції φ у двох точках, то положення точки Р₀ по суті байдуже. Однак щойно відправну точку обрано, число φ тим самим визначається в будь-якій точці простору; отже, φ є скалярним полем, функцією від х, у, z. Цю скалярну функцію ми називаємо електростатичним потенціалом у довільній точці.


Електростатичний потенціал

Часто дуже зручно брати відправну точку в нескінченності. Тоді потенціал φ поодинокого заряда на початку координат, узятий у довільній точці (х,у, z), дорівнює [див. рівняння (4.20)]

Електричне поле кількох зарядів можна записати у вигляді суми електричних полів від першого заряда, від другого, від третього і т. д. Інтегруючи суму для того, щоб визначити потенціал, ми прийдемо до суми інтегралів. Кожен з них — це потенціал відповідного заряда. Отже, потенціал φ множини зарядів є сумою потенціалів кожного із зарядів окремо. Таким чином, і для потенціалів існує принцип накладання. Користуючись такими самими аргументами, як і тоді, коли ми шукали електричне поле групи зарядів або розподілу зарядів, ми можемо отримати остаточні формули для потенціалу φ в точці, позначеній як (1):

або

Не забувайте, що потенціал φ має фізичний сенс: це потенціальна енергія, яку мав би одиничний заряд, якщо його перенести в зазначену точку простору з деякої відправної точки.