Тепер ми збираємося дати геометричний опис електростатичного поля. Два закони електростатики: один — про пропорційність потоку і внутрішнього заряда, а другий — про те, що електричне поле є градієнтом потенціалу, можуть також бути зображені геометрично. Ми проілюструємо це двома прикладами.
Перший приклад: візьмемо поле точкового заряда. Проведемо лінії в напрямку поля, які всюди дотичні до векторів поля (фіг. 4.12). Їх називають лініями поля. Лінії поля всюди показують напрямок електричного вектора. Але, крім цього, ми хочемо зобразити й абсолютну величину вектора. Можна ввести таке правило: нехай напруженість електричного поля представляється «густиною» ліній. Під цим ми розуміємо число ліній на одиницю площі, перпендикулярної лініям. За допомогою цих двох правил ми можемо накреслити картину електричного поля. Для точкового заряда густина ліній повинна спадати як 1/r2. Але площа сферичної поверхні, перпендикулярної до ліній на всіх радіусах r, зростає як r2, так що якщо ми збережемо всюди, на всіх відстанях від центра, те саме число ліній, то їхня густина залишиться пропорційною величині поля. Ми можемо гарантувати незмінність числа ліній на всіх відстанях, якщо забезпечимо неперервність ліній, тобто якщо вже лінія вийшла із заряда, то вона ніколи не закінчиться. Мовою ліній поля закон Гаусса стверджує, що лінії можуть починатися тільки в плюс-зарядах і закінчуватися тільки в мінус-зарядах. А число ліній, що залишають заряд q, повинно дорівнювати q/ε0.
Перший приклад: візьмемо поле точкового заряда. Проведемо лінії в напрямку поля, які всюди дотичні до векторів поля (фіг. 4.12). Їх називають лініями поля. Лінії поля всюди показують напрямок електричного вектора. Але, крім цього, ми хочемо зобразити й абсолютну величину вектора. Можна ввести таке правило: нехай напруженість електричного поля представляється «густиною» ліній. Під цим ми розуміємо число ліній на одиницю площі, перпендикулярної лініям. За допомогою цих двох правил ми можемо накреслити картину електричного поля. Для точкового заряда густина ліній повинна спадати як 1/r2. Але площа сферичної поверхні, перпендикулярної до ліній на всіх радіусах r, зростає як r2, так що якщо ми збережемо всюди, на всіх відстанях від центра, те саме число ліній, то їхня густина залишиться пропорційною величині поля. Ми можемо гарантувати незмінність числа ліній на всіх відстанях, якщо забезпечимо неперервність ліній, тобто якщо вже лінія вийшла із заряда, то вона ніколи не закінчиться. Мовою ліній поля закон Гаусса стверджує, що лінії можуть починатися тільки в плюс-зарядах і закінчуватися тільки в мінус-зарядах. А число ліній, що залишають заряд q, повинно дорівнювати q/ε0.
Зображення
Схожу геометричну картину можна знайти і для потенціалу φ. Найпростіше зображати його, малюючи поверхні, на яких φ стале. Їх називають еквіпотенціальними, тобто поверхнями однакового потенціалу. Який геометричний зв'язок еквіпотенціальних поверхонь і ліній поля? Електричне поле є градієнтом потенціалу. Градієнт напрямлений за найшвидшою зміною потенціалу, тому він перпендикулярний до еквіпотенціальної поверхні. Якби Е не було перпендикулярне до поверхні, у нього існувала б складова вздовж поверхні, і потенціал змінювався б вздовж поверхні, і тоді не можна було б вважати її еквіпотенціальною. Еквіпотенціальні поверхні повинні тому неодмінно всюди проходити впоперек ліній електричного поля.
В окремо взятого точкового заряда еквіпотенціальні поверхні — це сфери із зарядом у центрі. На фіг. 4.12 показано перетин цих сфер з площиною, проведеною через заряд.
Як другий приклад розглянемо поле поблизу двох однакових зарядів, одного додатного, а іншого від'ємного. Це поле отримати легко. Це суперпозиція (накладання) полів кожного із зарядів. Отже, ми можемо взяти дві картинки, схожі на фіг. 4.12, і накласти їх... ні, це неможливо! Тоді вийшли б лінії поля, що перетинаються, а цього бути не може, тому що Е не може мати в одній точці двох напрямків. Незручність картини ліній поля тепер стає очевидною. За допомогою геометричних міркувань неможливо в простій формі проаналізувати, куди підуть нові лінії. З двох незалежних картин не можна отримати їхнє поєднання. Принцип накладання, такий простий і глибокий принцип теорії електричних полів, у картині польових ліній не має простого відповідника.
Картина польових ліній усе ж має свою область застосовності, так що ми можемо все ж захотіти накреслити цю картину для пари рівних (і протилежних) зарядів. Якщо ми обчислимо поля з рівняння (4.13), а потенціали з (4.23), то зуміємо накреслити і лінії поля, і еквіпотенціалі. Фіг. 4.13 демонструє цей результат. Але спершу довелося розв'язати задачу аналітично!
В окремо взятого точкового заряда еквіпотенціальні поверхні — це сфери із зарядом у центрі. На фіг. 4.12 показано перетин цих сфер з площиною, проведеною через заряд.
Як другий приклад розглянемо поле поблизу двох однакових зарядів, одного додатного, а іншого від'ємного. Це поле отримати легко. Це суперпозиція (накладання) полів кожного із зарядів. Отже, ми можемо взяти дві картинки, схожі на фіг. 4.12, і накласти їх... ні, це неможливо! Тоді вийшли б лінії поля, що перетинаються, а цього бути не може, тому що Е не може мати в одній точці двох напрямків. Незручність картини ліній поля тепер стає очевидною. За допомогою геометричних міркувань неможливо в простій формі проаналізувати, куди підуть нові лінії. З двох незалежних картин не можна отримати їхнє поєднання. Принцип накладання, такий простий і глибокий принцип теорії електричних полів, у картині польових ліній не має простого відповідника.
Картина польових ліній усе ж має свою область застосовності, так що ми можемо все ж захотіти накреслити цю картину для пари рівних (і протилежних) зарядів. Якщо ми обчислимо поля з рівняння (4.13), а потенціали з (4.23), то зуміємо накреслити і лінії поля, і еквіпотенціалі. Фіг. 4.13 демонструє цей результат. Але спершу довелося розв'язати задачу аналітично!
Зображення
