З якого дива нас зацікавив потенціал φ? Сили, що діють на заряди, задаються величиною Е — електричним полем. Уся сіль у тому, що Е з φ дуже легко отримати, не важче, ніж обчислити похідну. Розглянемо дві точки з однаковими y і z, але з різними x: в однієї x, в іншої x + Δx; поцікавимося, яку роботу треба виконати, щоб перенести одиничний заряд з однієї точки в іншу. Шлях перенесення — горизонтальна лінія від x до x + Δx. Робота дорівнює різниці потенціалів у двох точках
Зображення
робота проти дії сили на тому самому відрізку дорівнює
Зображення
Ми бачимо, що
Зображення
Рівним чином, Ey= –∂φ/∂y, Ez= –∂φ/∂z; усе це в позначеннях векторного аналізу можна підсумувати так:
Зображення
Це диференціальна форма рівняння (4.22). Будь-яку задачу, у якій задані заряди, можна розв'язати, обчисливши за (4.24) або (4.25) потенціал і розрахувавши за (4.27) поле. Рівняння (4.27) узгоджується також із тим, що виходить у векторному аналізі: з тим, що для будь-якого скалярного поля
Зображення
Згідно з рівнянням (4.25), скалярний потенціал φ подається тривимірним інтегралом, подібним до того, який ми писали для Е. Чи є якась вигода в тому, що замість Е обчислюється φ? Так. Для обчислення φ потрібно взяти один інтеграл, а для обчислення Е — три (адже це вектор). Крім того, зазвичай 1/r інтегрувати легше, ніж x/r3. У багатьох практичних випадках виявляється, що для отримання електричного поля легше спершу підрахувати φ, а потім узяти градієнт, ніж обчислювати три інтеграли для Е. Це просто питання зручності.
Але потенціал φ має й глибокий фізичний сенс. Ми показали, що Е закону Кулона отримується з Е =–grad φ, де φ дається рівнянням (4.22). Але якщо Е— це градієнт скалярного поля, то, як відомо з векторного числення, ротор Е повинен обернутися в нуль:
Але потенціал φ має й глибокий фізичний сенс. Ми показали, що Е закону Кулона отримується з Е =–grad φ, де φ дається рівнянням (4.22). Але якщо Е— це градієнт скалярного поля, то, як відомо з векторного числення, ротор Е повинен обернутися в нуль:
Зображення
Але це і є наше друге основне рівняння електростатики — рівняння (4.6). Таким чином, ми показали, що закон Кулона дає поле Е, яке задовольняє цю умову. Тож поки що все гаразд.
Насправді те, що ∇ x Е дорівнює нулю, було доведено ще до того, як ми визначили потенціал. Ми показали, що робота обходу по замкненому шляху дорівнює нулю, тобто
Насправді те, що ∇ x Е дорівнює нулю, було доведено ще до того, як ми визначили потенціал. Ми показали, що робота обходу по замкненому шляху дорівнює нулю, тобто
Зображення
будь-яким шляхом. Ми бачили в розд. 3, що в такому полі ∇ХЕ повинно бути всюди рівне нулю. Електричне поле електростатики — це поле без роторів.
Ви можете потренуватися у векторному численні, довівши рівність нулю вектора ∇ХЕ іншим способом, тобто обчисливши компоненти вектора ∇ХЕ для поля точкового заряда за формулами (4.11). Якщо вийде нуль, то принцип накладання забезпечить нам обернення ∇ХЕ в нуль для будь-якого розподілу зарядів.
Слід підкреслити важливий факт. Для будь-якої радіальної сили виконувана робота не залежить від шляху й існує потенціал. Якщо ви вдумаєтеся в це, то побачите, що всі наші доведення того, що інтеграл роботи не залежить від шляху, самі визначалися лише тим, що сила від окремого заряда була радіальна і сферично симетрична. Те, що залежність сили від відстані мала вигляд 1/r2, не мало жодного значення, за будь-якої залежності від r вийшло б те саме. Існування потенціалу й обернення в нуль ротора Е випливають насправді тільки із симетрії та напрямленості електростатичних сил. З цієї причини рівняння (4.28) або (4.29) може містити в собі лише частину законів електрики.
Ви можете потренуватися у векторному численні, довівши рівність нулю вектора ∇ХЕ іншим способом, тобто обчисливши компоненти вектора ∇ХЕ для поля точкового заряда за формулами (4.11). Якщо вийде нуль, то принцип накладання забезпечить нам обернення ∇ХЕ в нуль для будь-якого розподілу зарядів.
Слід підкреслити важливий факт. Для будь-якої радіальної сили виконувана робота не залежить від шляху й існує потенціал. Якщо ви вдумаєтеся в це, то побачите, що всі наші доведення того, що інтеграл роботи не залежить від шляху, самі визначалися лише тим, що сила від окремого заряда була радіальна і сферично симетрична. Те, що залежність сили від відстані мала вигляд 1/r2, не мало жодного значення, за будь-якої залежності від r вийшло б те саме. Існування потенціалу й обернення в нуль ротора Е випливають насправді тільки із симетрії та напрямленості електростатичних сил. З цієї причини рівняння (4.28) або (4.29) може містити в собі лише частину законів електрики.