Електричний струм. Збереження заряду

Подумаємо тепер про те, чому магнітні сили діють на дроти, по яких тече електричний струм. Для цього визначимо, що розуміють під густиною струму. Електричний струм складається з електронів або інших зарядів, що рухаються й утворюють результуючу течію, або потік. Ми можемо уявити потік зарядів вектором, який визначає кількість зарядів, що проходить за одиницю часу крізь одиничну площинку, перпендикулярну до потоку (точнісінько так само, як ми це робили, визначаючи потік тепла). Назвемо цю величину густиною струму і позначимо її вектором j. Він спрямований уздовж руху зарядів. Якщо взяти маленьку площинку Δа у певному місці матеріалу, то кількість зарядів, що тече крізь площинку за одиницю часу, дорівнює

де n — одиничний вектор нормалі до Δа.
 
Густина струму пов'язана із середньою швидкістю течії зарядів. Припустімо, що є розподіл зарядів, які в середньому дрейфують зі швидкістю v. Коли цей розподіл  проходить крізь елемент  поверхні  Δа,   то  заряд  Δq,що проходить крізь Δа за час Δt, дорівнює заряду, що міститься в паралелепіпеді з основою Δа і висотою vΔt (фіг. 13.2). Об'єм паралелепіпеда є добутком проєкції Δа, перпендикулярної до v, на vΔt, а помноживши його на густину зарядів  ρ,  дістаємо  Δq  Таким  чином,

Заряд, що проходить за одиницю часу, тоді дорівнює ρv·nΔa, звідки  дістаємо

Якщо розподіл зарядів складається з окремих зарядів, скажімо електронів із зарядом q, що рухаються із середньою швидкістю v, то густина струму  дорівнює

де N — число зарядів в одиниці об'єму.
 
Повна кількість заряду, що проходить за одиницю часу крізь якусь поверхню S, називається електричним струмом I. Він дорівнює інтегралу від нормальної складової потоку по всіх елементах поверхні (фіг. 13.3):

Струм I із замкнутої поверхні S являє собою швидкість, з якою заряди залишають об'єм V, оточений поверхнею S. Один з основних законів фізики стверджує, що електричний заряд не знищуваний; він ніколи не втрачається і не створюється. Електричні заряди можуть переміщатися з місця на місце, але ніколи не виникають з нічого. Ми кажемо, що заряд зберігається. Якщо із замкнутої поверхні виникає результуючий струм, то кількість заряду всередині має відповідно зменшуватися (фіг. 13.4). Тому ми можемо записати закон збереження заряду в такому вигляді:

Заряд усередині можна записати як об'ємний інтеграл від густини  заряду

Застосовуючи (13.6) до малого об'єму ΔV, можна врахувати, що інтеграл зліва є ∇·j ΔV. Заряд усередині дорівнює ρΔV, тому збереження  заряду  можна  ще  записати  і  так:

(знову  теорема Гаусса з математики!).