Коли ми сказали, що магнітна сила на заряд пропорційна його швидкості, ви, напевно, подумали: «Якій швидкості? Стосовно якої системи відліку?» Із визначення В, даного на початку цього розділу, насправді зрозуміло, що цей вектор буде різним залежно від вибору системи відліку, у якій ми визначаємо швидкість зарядів. Але ми нічого не сказали про те, яка ж система підходить для визначення магнітного поля.
Виявляється, що годиться будь-яка інерціальна система. Ми побачимо також, що магнетизм і електрика — не незалежні речі, вони завжди повинні бути взяті в сукупності як одне повне електромагнітне поле. Хоча в статичному випадку рівняння Максвелла розділяються на дві окремі пари: одна пара для електрики й одна для магнетизму, без видимого зв'язку між обома полями, проте в самій природі існує дуже глибокий взаємозв'язок між ними, що виникає з принципу відносності. Історично принцип відносності був відкритий після рівнянь Максвелла. Насправді ж саме вивчення електрики й магнетизму привело Ейнштейна до відкриття принципу відносності. Але подивімося, що наше знання принципу відносності підкаже нам про магнітні сили, якщо припустити, що принцип відносності застосовний (а насправді так воно і є) до електромагнетизму.
Подумаймо, що станеться з негативним зарядом, який рухається зі швидкістю v0 паралельно дроту, по якому тече струм (фіг. 13.10). Спробуємо розібратися в тому, що відбувається, використовуючи дві системи відліку: одну, пов'язану з дротом, як на фіг. 13.10, а, а іншу — з частинкою, як на фіг. 13.10, б. Ми будемо називати першу систему відліку S, а другу S`.
У системі S на частинку явно діє магнітна сила. Сила спрямована до дроту, тому, якщо заряду ніщо не заважає, його траєкторія загнеться у бік дроту. Але в системі S` магнітної сили на частинку бути не може, тому що швидкість частинки дорівнює нулю. Що ж, отже, вона так і стоятиме на місці? Чи побачимо ми в різних системах різні речі? Принцип відносності стверджує, що в системі S` ми побачили б так само, як частинка наближається до дроту. Ми повинні спробувати зрозуміти, чому таке могло б відбутися.
Виявляється, що годиться будь-яка інерціальна система. Ми побачимо також, що магнетизм і електрика — не незалежні речі, вони завжди повинні бути взяті в сукупності як одне повне електромагнітне поле. Хоча в статичному випадку рівняння Максвелла розділяються на дві окремі пари: одна пара для електрики й одна для магнетизму, без видимого зв'язку між обома полями, проте в самій природі існує дуже глибокий взаємозв'язок між ними, що виникає з принципу відносності. Історично принцип відносності був відкритий після рівнянь Максвелла. Насправді ж саме вивчення електрики й магнетизму привело Ейнштейна до відкриття принципу відносності. Але подивімося, що наше знання принципу відносності підкаже нам про магнітні сили, якщо припустити, що принцип відносності застосовний (а насправді так воно і є) до електромагнетизму.
Подумаймо, що станеться з негативним зарядом, який рухається зі швидкістю v0 паралельно дроту, по якому тече струм (фіг. 13.10). Спробуємо розібратися в тому, що відбувається, використовуючи дві системи відліку: одну, пов'язану з дротом, як на фіг. 13.10, а, а іншу — з частинкою, як на фіг. 13.10, б. Ми будемо називати першу систему відліку S, а другу S`.
У системі S на частинку явно діє магнітна сила. Сила спрямована до дроту, тому, якщо заряду ніщо не заважає, його траєкторія загнеться у бік дроту. Але в системі S` магнітної сили на частинку бути не може, тому що швидкість частинки дорівнює нулю. Що ж, отже, вона так і стоятиме на місці? Чи побачимо ми в різних системах різні речі? Принцип відносності стверджує, що в системі S` ми побачили б так само, як частинка наближається до дроту. Ми повинні спробувати зрозуміти, чому таке могло б відбутися.
Зображення
Повернімося до нашого атомного опису дроту, по якому йде струм. У звичайному провіднику, на кшталт міді, електричні струми виникають за рахунок руху частини негативних електронів (які називаються електронами провідності), тоді як позитивні ядерні заряди й решта електронів залишаються закріпленими всередині матеріалу. Нехай густина електронів провідності є ρ_, а їхня швидкість у системі S є v. Густина нерухомих зарядів у системі S є ρ + , що повинно дорівнювати ρ_ з протилежним знаком, тому що ми беремо незаряджений дріт. Тому поза дротом електричного поля немає, і сила на рухому частинку дорівнює просто
Зображення
Використовуючи результат, знайдений нами в рівнянні (13.18) для магнітного поля на відстані r від осі дроту, ми доходимо висновку, що сила, яка діє на частинку, спрямована до дроту і дорівнює за величиною
Зображення
За допомогою рівнянь (13.4) і (13.5) струм / може бути записаний як p+vA, де A — площа поперечного перерізу дроту. Тоді
Зображення
Ми могли б продовжити розгляд загального випадку довільних швидкостей v і v0, але анітрохи не гірше буде взяти окремий випадок, коли швидкість v0 частинки збігається зі швидкістю v електронів провідності. Тому ми запишемо v=v0, і рівняння (13.20) набуде вигляду
Зображення
Тепер звернімося до того, що відбувається в системі S`, де частинка спочиває, а дріт біжить повз неї (уліво на фіг. 13.10, б) зі швидкістю v. Позитивні заряди, що рухаються разом із дротом, створять біля частинки якесь магнітне поле В`. Але частинка тепер спочиває, так що магнітна сила на неї не діє! Якщо і виникає якась сила, то вона повинна з'явитися за рахунок електричного поля. Виходить, що рухомий дріт створює електричне поле. Але він може це зробити, тільки якщо він здається зарядженим; повинно виходити так, щоб нейтральний дріт зі струмом здавався зарядженим, якщо його привести в рух.
Потрібно в цьому розібратися. Спробуємо обчислити густину зарядів у дроті в системі S`, користуючись тим, що ми знаємо про неї в системі S. На перший погляд можна було б подумати, що густини однакові, але з розд. 15 (вип. 2) ми знаємо, що при переході від однієї системи до іншої довжини змінюються, отже, об'єми теж зміняться. Оскільки густини зарядів залежать від об'єму, який займають заряди, густини будуть також змінюватися.
Перш ніж визначити густини зарядів у системі S`, потрібно знати, що відбувається з електричним зарядом групи електронів, коли заряди рухаються. Ми знаємо, що уявна маса частинки набуває множника 1/√1–v2/c2. Чи відбувається щось подібне з її зарядом? Ні! Заряди ніколи не змінюються незалежно від того, рухаються вони чи ні. Інакше ми не могли б спостерігати на досліді збереження повного заряду.
Візьмемо шматок речовини, наприклад провідника, і нехай він спочатку незаряджений. Тепер нагріємо його. Оскільки маса електронів інша, ніж у протонів, швидкості електронів і протонів зміняться по-різному. Якби заряд частинки залежав від швидкості частинки, яка його переносить, то в нагрітому шматку заряди електронів і протонів не були б скомпенсовані. Шматок матеріалу при нагріванні ставав би зарядженим.
Ми бачили раніше, що дуже мала зміна заряду в кожного з електронів у шматку призвела б до величезних електричних полів. Нічого подібного ніколи не спостерігалося.
Крім того, можна зауважити, що середня швидкість електронів у речовині залежить від її хімічного складу. Якби заряд електрона змінювався зі швидкістю, сумарний заряд у шматку речовини змінювався б у ході хімічної реакції. Як і раніше, пряме обчислення показує, що навіть зовсім мала залежність заряду від швидкості призвела б у найпростіших хімічних реакціях до величезних полів. Нічого подібного не спостерігалося, і ми доходимо висновку, що електричний заряд окремої частинки не залежить від стану руху чи спокою.
Отже, заряд частинки q є інваріантною скалярною величиною, яка не залежить від системи відліку. Це означає, що в будь-якій системі густина зарядів у деякого розподілу електронів просто пропорційна числу електронів в одиниці об'єму. Нам потрібно тільки врахувати той факт, що об'єм може змінюватися через релятивістське скорочення відстаней.
Застосуємо тепер ці ідеї до нашого рухомого дроту. Якщо взяти дріт довжиною L0, у якому густина нерухомих зарядів є ρ0, то в ньому міститиметься повний заряд Q=ρ0L0A0. Якщо ті самі заряди рухаються в іншій системі зі швидкістю v, то вони всі будуть перебувати в шматку матеріалу меншої довжини
Потрібно в цьому розібратися. Спробуємо обчислити густину зарядів у дроті в системі S`, користуючись тим, що ми знаємо про неї в системі S. На перший погляд можна було б подумати, що густини однакові, але з розд. 15 (вип. 2) ми знаємо, що при переході від однієї системи до іншої довжини змінюються, отже, об'єми теж зміняться. Оскільки густини зарядів залежать від об'єму, який займають заряди, густини будуть також змінюватися.
Перш ніж визначити густини зарядів у системі S`, потрібно знати, що відбувається з електричним зарядом групи електронів, коли заряди рухаються. Ми знаємо, що уявна маса частинки набуває множника 1/√1–v2/c2. Чи відбувається щось подібне з її зарядом? Ні! Заряди ніколи не змінюються незалежно від того, рухаються вони чи ні. Інакше ми не могли б спостерігати на досліді збереження повного заряду.
Візьмемо шматок речовини, наприклад провідника, і нехай він спочатку незаряджений. Тепер нагріємо його. Оскільки маса електронів інша, ніж у протонів, швидкості електронів і протонів зміняться по-різному. Якби заряд частинки залежав від швидкості частинки, яка його переносить, то в нагрітому шматку заряди електронів і протонів не були б скомпенсовані. Шматок матеріалу при нагріванні ставав би зарядженим.
Ми бачили раніше, що дуже мала зміна заряду в кожного з електронів у шматку призвела б до величезних електричних полів. Нічого подібного ніколи не спостерігалося.
Крім того, можна зауважити, що середня швидкість електронів у речовині залежить від її хімічного складу. Якби заряд електрона змінювався зі швидкістю, сумарний заряд у шматку речовини змінювався б у ході хімічної реакції. Як і раніше, пряме обчислення показує, що навіть зовсім мала залежність заряду від швидкості призвела б у найпростіших хімічних реакціях до величезних полів. Нічого подібного не спостерігалося, і ми доходимо висновку, що електричний заряд окремої частинки не залежить від стану руху чи спокою.
Отже, заряд частинки q є інваріантною скалярною величиною, яка не залежить від системи відліку. Це означає, що в будь-якій системі густина зарядів у деякого розподілу електронів просто пропорційна числу електронів в одиниці об'єму. Нам потрібно тільки врахувати той факт, що об'єм може змінюватися через релятивістське скорочення відстаней.
Застосуємо тепер ці ідеї до нашого рухомого дроту. Якщо взяти дріт довжиною L0, у якому густина нерухомих зарядів є ρ0, то в ньому міститиметься повний заряд Q=ρ0L0A0. Якщо ті самі заряди рухаються в іншій системі зі швидкістю v, то вони всі будуть перебувати в шматку матеріалу меншої довжини
Зображення
але того самого перерізу А0, оскільки розміри в напрямку, перпендикулярному рухові, не змінюються (фіг. 13.11).Якщо через ρ позначити густину зарядів у системі, де вони рухаються, то повний заряд Q буде ρLA0, Але це повинно бути також рівним ρ0L0A, тому що заряд у будь-якій системі однаковий, отже, ρL=ρ0L0, або за допомогою (13.22)
Зображення
Густина зарядів рухомої сукупності зарядів змінюється так само, як і релятивістська маса частинки.
Застосуємо тепер цей результат до густини позитивних зарядів ρ+ у нашому дроті. Ці заряди спочивають у системі S. Однак у системі S`, де дріт рухається зі швидкістю v, густина позитивних зарядів стає рівною
Застосуємо тепер цей результат до густини позитивних зарядів ρ+ у нашому дроті. Ці заряди спочивають у системі S. Однак у системі S`, де дріт рухається зі швидкістю v, густина позитивних зарядів стає рівною
Зображення
Негативні заряди в системі S′ спочивають, тому їхня густина в цій системі є «густина спокою» ρ0. У рівнянні (13.23) ρ0=ρ′_, тому що їхня густина зарядів дорівнює ρ_, якщо дріт спочиває, тобто в системі S, де швидкість негативних зарядів дорівнює v. Тоді для електронів провідності ми дістаємо
Зображення
Тепер ми можемо зрозуміти, чому в системі S′ виникають електричні поля: тому що в цій системі в дроті є результуюча густина зарядів ρ′, яка дається формулою
Зображення
за допомогою (13.24) і (13.26) маємо
Зображення
Оскільки нерухомий дріт нейтральний, ρ_ = —ρ+ , дістаємо
Зображення
Наш рухомий дріт заряджений позитивно і повинен створювати поле Е′ у точці, де перебуває зовнішня нерухома частинка. Ми вже розв'язували електростатичну задачу про однорідно заряджений циліндр. Електричне поле на відстані r від осі циліндра є
Зображення
Сила, що діє на негативно заряджену частинку, спрямована до дроту. Ми маємо силу, спрямовану однаково в обох системах; електрична сила в системі S′ спрямована так само, як магнітна сила в системі S. Величина сили в системі S′ дорівнює
Зображення
Порівнюючи цей результат для F′ з нашим результатом для F у рівнянні (13.21), ми бачимо, що величини сил з погляду двох спостерігачів майже однакові. Точніше,
Зображення
тому для малих швидкостей, які ми розглядаємо, обидві сили однакові. Ми можемо сказати, що принаймні для малих швидкостей магнетизм і електрика суть просто «дві різні сторони однієї й тієї ж речі».
Але виявляється, що все йде навіть ще краще, ніж ми сказали. Якщо взяти до уваги той факт, що сили також перетворюються при переході від однієї системи до іншої, то виявиться, що обидва способи спостереження за тим, що відбувається, дають насправді однакові фізичні результати за будь-якої швидкості.
Щоб це побачити, можна, наприклад, поставити запитання: якого поперечного імпульсу набуде частинка, на яку протягом деякого часу діяла сила? Ми знаємо з вип. 2, розд. 16, що поперечний імпульс частинки повинен бути один і той самий як у системі S, так і в системі S′. Позначимо поперечну координату у і порівняємо Δрy і Δр′y . Використовуючи релятивістськи правильне рівняння руху F=dp/dt, ми очікуємо, що за час Δt наша частинка набуде поперечного імпульсу Δрy в системі S, який дається виразом
Але виявляється, що все йде навіть ще краще, ніж ми сказали. Якщо взяти до уваги той факт, що сили також перетворюються при переході від однієї системи до іншої, то виявиться, що обидва способи спостереження за тим, що відбувається, дають насправді однакові фізичні результати за будь-якої швидкості.
Щоб це побачити, можна, наприклад, поставити запитання: якого поперечного імпульсу набуде частинка, на яку протягом деякого часу діяла сила? Ми знаємо з вип. 2, розд. 16, що поперечний імпульс частинки повинен бути один і той самий як у системі S, так і в системі S′. Позначимо поперечну координату у і порівняємо Δрy і Δр′y . Використовуючи релятивістськи правильне рівняння руху F=dp/dt, ми очікуємо, що за час Δt наша частинка набуде поперечного імпульсу Δрy в системі S, який дається виразом
Зображення
У системі S′ поперечний імпульс буде дорівнювати
Зображення
Ми повинні порівнювати Δрy і Δр′y, звісно, для відповідних інтервалів часу Δt і Δt′. У розд. 15 (вип. 2) ми бачили, що інтервали часу, які стосуються рухомої частинки, здаються довшими за інтервали в системі спокою частинки. Оскільки наша частинка спочатку перебувала в спокої в системі S′, то ми очікуємо, що для малих Δt
Зображення
і все виходить чудово. Згідно з (13.31) і (13.32),
Зображення
і якщо скомбінувати (13.30) і (13.33), то це відношення дорівнює одиниці.Ось і виходить, що ми отримуємо один і той самий результат, незалежно від того, аналізуємо ми рух частинки, яка летить поряд із дротом, у системі спокою дроту чи в системі спокою частинки. У першому випадку сила була чисто «магнітною», у другому — чисто «електричною». Обидва способи спостереження показані на фіг. 13.12 (хоча в другій системі ще є й магнітне поле В′, воно не діє на нерухому частинку).
Якби ми вибрали ще одну систему координат, ми б знайшли якусь іншу суміш полів Е і В. Електричні й магнітні сили становлять частини одного фізичного явища— електромагнітної взаємодії частинок. Поділ цієї взаємодії на електричну й магнітну частини значною мірою залежить від системи відліку, у якій ми описуємо взаємодію. Але повний електромагнітний опис інваріантний; електрика й магнетизм, узяті разом, узгоджуються з принципом відносності, відкритим Ейнштейном.
Оскільки електричні й магнітні поля з'являються в різних співвідношеннях при зміні системи відліку, ми повинні проявляти обережність у поводженні з полями Е і В. Якщо, наприклад, ми говоримо про «лінії» Е або В, то не потрібно перебільшувати реальність їхнього існування. Лінії можуть зникнути, якщо ми захочемо побачити їх в іншій системі координат. Наприклад, у системі S′ є лінії електричного поля, проте ми не бачимо їх «рухомими повз нас зі швидкістю v у системі S». У системі S ліній електричного поля немає взагалі! Тому безглуздо говорити щось на кшталт: «Коли я рухаю магніт, він несе своє поле з собою, тому лінії поля В теж рухаються». Немає жодного способу зробити взагалі осмисленим поняття про «швидкість рухомих ліній поля».
Поля суть спосіб опису того, що відбувається в деякій точці простору. Зокрема, Е і В говорять нам про сили, які діятимуть на рухому частинку. Питання «чому дорівнює сила, що діє на заряд з боку рухомого магнітного поля?» не має скільки-небудь точного змісту. Сила дається величинами Е і В у точці заряду, і формула (13.1) не зміниться, якщо джерело полів Е або В рухається (зміняться внаслідок руху якраз значення Е і В). Наш математичний опис стосується тільки полів як функцій х, у, z і t, узятих у деякій інерціальній системі відліку.
Пізніше ми будемо говорити про «хвилю електричного й магнітного полів, що поширюється в просторі», наприклад про світлову хвилю. Але це все одно, що говорити про хвилю, яка біжить по мотузці. Ми при цьому не маємо на увазі, що якась частина мотузки рухається в напрямку хвилі, а маємо на увазі, що зміщення мотузки з'являється спочатку в одному місці, а потім в іншому. Аналогічно для електромагнітної хвилі — сама хвиля поширюється, а величина полів змінюється.
Тож у майбутньому, коли ми — або хто-небудь ще — будемо говорити про «рухоме» поле, ви повинні розуміти, що йдеться просто про короткий і зручний спосіб опису поля, яке змінюється, за певних умов.