Перетворення струмів і зарядів

Ви, ймовірно, були стурбовані зробленим нами спрощенням, коли ми взяли одну й ту саму швидкість v для частинки й електронів провідності в дроті. Можна було б повернутися назад і знову провести аналіз із двома різними швидкостями, але легше просто зауважити, що густина заряду і струму є компонентами чотиривектора (див. вип. 2, розд. 17).
 
Ми вже бачили, що якщо ρ₀ є густина зарядів у їхній системі спокою, то в системі, де вони мають швидкість v, густина дорівнює

У цій системі їхня густина струму є

Далі, ми знаємо, що енергія U і імпульс частинки р, яка рухається зі швидкістю v, даються виразами

де m₀ — її маса спокою. Ми знаємо також, що U і р утворюють релятивістський чотиривектор. Оскільки р і j залежать від швидкості v точнісінько так, як U і р, то можна зробити висновок, що ρ і j також є компонентами релятивістського чотиривектора. Ця властивість є ключем до загального аналізу поля дроту, що рухається з будь-якою швидкістю, і ми могли б її використати, якби захотіли розв'язати знову задачу зі швидкістю частинки v₀, не рівною швидкості електронів провідності.
 
Якщо нам потрібно перевести ρ і j у систему координат, що рухається зі швидкістю u в напрямку х, то ми знаємо, що вони перетворюються точнісінько як t і (х, у, z); тому ми маємо (див. вип. 2, розд. 15)

За допомогою цих рівнянь можна пов'язати заряди й струми в одній системі із зарядами й струмами в іншій. Узявши заряди й струми в якійсь системі, можна розв'язати електромагнітну задачу в цій системі, користуючись рівняннями Максвелла. Результат, який ми отримаємо для руху частинок, буде одним і тим самим, незалежно від обраної системи відліку. Пізніше ми повернемося до релятивістських перетворень електромагнітних полів.