Що дає додаток

Як наш перший приклад розглянемо, що відбувається зі сферично симетричним радіальним розподілом струму. Уявімо собі маленьку сферу з нанесеною на ній радіоактивною речовиною. Ця радіоактивна речовина випромінює назовні заряджені частинки. (Ми можемо уявити також великий шматок желе з маленьким отвором у центрі, в який за допомогою шприца впорскуються якісь заряди і з якого заряди повільно просочуються.) У будь-якому випадку ми мали б струм, спрямований усюди по радіусу назовні. Вважатимемо, що його величина однакова в усіх напрямках.
 
Нехай повний заряд усередині сфери довільного радіуса r є Q(r). Якщо густина радіального струму при такому самому радіусі дорівнює j(r), то рівняння (18.2) вимагає, щоб Q зменшувалося зі  швидкістю

Запитаймо тепер про магнітне поле, створюване струмами в цьому випадку. Припустімо, ми накреслили якусь петлю Г на сфері радіуса r (фіг. 18.1). Крізь петлю проходить якийсь струм, тому можна очікувати, що магнітне поле циркулює в напрямку,  вказаному на фігурі.
 
І одразу виникає складність. Як може поле В мати якийсь особливий напрямок на сфері? При іншому виборі петлі Г ми б дійшли висновку, що її напрямок прямо протилежний вказаному. Тому чи можлива якась циркуляція В навколо струмів?
 
Нас рятують рівняння Максвелла. Циркуляція В залежить не тільки від повного струму, що проходить крізь петлю Г, а й від швидкості зміни з часом електричного потоку крізь неї. Має бути так, щоб ці дві частини якраз погашалися. Подивимося,  чи виходить це.
 
Електричне поле на відстані r має дорівнювати Q(r)/4πε₀r², поки, як ми припустили, заряд розподілений симетрично. Поле радіальне, і швидкість його зміни тоді дорівнює

Порівнюючи це з (18.5), ми бачимо, що для будь-якої відстані

У рівнянні IV (табл. 18.1) обидва члени від джерела погашаються, і ротор В завжди дорівнює нулю. Магнітного поля в нашому прикладі немає.
 
Як наш другий приклад розглянемо магнітне поле провода, який використовується для заряджання плоского конденсатора (фіг. 18.2). Якщо заряд Q на пластинах із часом змінюється (але не надто швидко), струм у проводах дорівнює dQ/dt. Ми очікуємо, що цей струм створить магнітне поле, яке оточує провід. Звісно, струм поблизу провода має створювати звичайне магнітне поле, воно не може залежати від того, де йде струм.
 
Припустімо, ми вибрали петлю Г₁ у вигляді кола радіусом r (фіг. 18.2, а). Контурний інтеграл від магнітного поля дорівнюватиме струму I, поділеному на ε₀с². Маємо

Усе це ми отримали б для постійного струму, але результат не зміниться, якщо врахувати додаток Максвелла, тому що для плоскої поверхні S усередині кола електричного поля немає (вважаючи, що провід дуже хороший провідник). Поверхневий інтеграл від ∂E/∂t дорівнює нулю.
 
Припустімо, однак, що тепер ми повільно просуваємо криву Г₁ вниз. Ми завжди отримуватимемо той самий результат, поки не намалюємо криву врівень із пластинами конденсатора. Тоді струм I прямуватиме до нуля. Чи зникне при цьому магнітне поле? Це було б дуже дивно. Погляньмо, що каже рівняння Максвелла для кривої Г, яка є колом радіуса r, площина якого проходить між пластинами конденсатора (фіг. 18.2, б). Контурний інтеграл від В навколо Г є 2πrВ. Він має дорівнювати похідній за часом потоку Е, що проходить крізь плоску поверхню кола S₂. Цей потік Е, як ми знаємо із закону Гаусса, має дорівнювати добутку 1/ε₀ на заряд  Q на одній із пластин конденсатора. Маємо

Це дуже добре. Результат той самий, що ми знайшли в (18.8). Інтегрування за змінним електричним полем дає те саме магнітне поле, що й інтегрування за струмом у проводі. Звісно, якраз про це і каже рівняння Максвелла. Легко побачити, що так має бути завжди, якщо застосувати наші міркування до двох поверхонь S₁ і S₁′, обмежених тим самим колом Г₁ на фіг. 18.2, б. Крізь S₁ проходить струм I, але немає електричного потоку. Крізь S₁′ немає струму, але є електричний потік, що змінюється зі швидкістю I/ε₀. Те саме поле В вийде, якщо ми застосуємо рівняння IV (табл.  18.1)  до кожної поверхні.
 
Із нашого обговорення додатка, введеного Максвеллом, у вас могло скластися враження, що він додає небагато — просто підправляє рівняння відповідно до того, чого ми вже очікували. Це правда, поки ми розглядаємо рівняння IV саме по собі, нічого особливо нового не з'являється. Слова саме по собі, однак, дуже важливі. Невелика зміна, введена Максвеллом у рівняння IV у поєднанні з іншими рівняннями, насправді дає багато нового й важливого. Але перш ніж зайнятися цим питанням, поговорімо детальніше про табл. 18.1.