Рівняння Максвелла

У цьому розділі ми повернемося до повної системи з чотирьох рівнянь Максвелла, які ми прийняли як відправний пункт у розд. 1 (вип. 5). Досі ми вивчали рівняння Максвелла невеликими частинами, шматочками; тепер настав час додати останню частину й з'єднати їх усі воєдино. Тоді ми матимемо повний і точний опис електромагнітних полів, які можуть довільним чином змінюватися з часом. Усе сказане в цьому розділі, навіть якщо воно суперечитиме чомусь сказаному раніше, правильне, а те, що говорилося раніше в цих випадках, невірне, тому що все висловлене раніше застосовувалося до таких окремих випадків, як, скажімо, випадки постійного струму або фіксованих зарядів. Хоча щоразу, коли ми записували рівняння, ми досить старанно вказували обмеження, легко забути всі ці застереження й надто добре завчити помилкові рівняння. Тепер ми можемо викласти всю істину, без жодних обмежень (або майже без них).
 
Усі рівняння Максвелла записані в табл. 18.1 як словесно, так і в математичних символах. Той факт, що слова еквівалентні рівнянням, має бути зараз вам уже знайомий — ви маєте вміти перекладати одну форму в іншу і назад.

Перше рівняння — дивергенція Е дорівнює густині заряду, поділеній на ε₀,— правильне завжди. Закон Гаусса справедливий завжди, як у динамічних, так і в статичних полях. Потік Е через будь-яку замкнену поверхню пропорційний заряду, що міститься всередині. Третє   рівняння — відповідний   загальний закон для магнітних полів. Оскільки магнітних зарядів немає, потік В через будь-яку замкнену поверхню завжди дорівнює нулю. Друге рівняння ∇ x E= –∂B/∂t — це закон Фарадея, і обговорювався він в останніх двох розділах. Він теж правильний у загальному випадку. Але останнє рівняння містить дещо нове. Раніше ми зустрічалися лише з частиною його, яка годиться для постійних струмів. У цьому випадку ми говорили, що ротор В дорівнює j/ε₀c², але правильне загальне рівняння має новий член,  який  був   відкритий  Максвеллом.
 
До появи роботи  Максвелла відомі закони  електрики й магнетизму були такими самими, як ті, що ми вивчали в розд. 3—14 (вип. 5) і розд. 15—17. Зокрема, рівняння для магнітного поля постійних струмів було відоме лише у вигляді

Максвелл почав з розгляду цих відомих законів і виразив їх у вигляді диференціальних рівнянь, так само як ми зробили тут. (Хоча символ v ще не був придуманий, вперше, здебільшого завдяки Максвеллу, стала очевидною важливість таких комбінацій похідних, які ми сьогодні називаємо ротором і дивергенцією.) Максвелл тоді помітив, що в рівнянні (18.1) є щось дивне. Якщо взяти дивергенцію від цього рівняння, то ліва сторона обернеться в нуль, тому що дивергенція ротора завжди дорівнює нулю. Таким чином, це рівняння вимагає, щоб дивергенція j також дорівнювала нулю. Але якщо дивергенція j дорівнює нулю, то повний струм через будь-яку  замкнену поверхню теж  дорівнює нулю.
 
Повний струм через замкнену поверхню дорівнює зменшенню заряду всередині цієї поверхні. Він напевно не може завжди дорівнювати нулю, оскільки ми знаємо, що заряди можуть переміщатися з одного місця в інше. Рівняння

фактично є нашим визначенням j. Це рівняння виражає найфундаментальніший закон — збереження електричного заряду: будь-який потік заряду має надходити з якогось запасу. Максвелл помітив цю складність і, щоб уникнути її, запропонував додати ∂E/∂t у праву частину рівняння (18.1); тоді він і отримав рівняння IV у табл. 18.1:

За часів Максвелла ще не звикли мислити в термінах абстрактних полів. Максвелл обговорював свої ідеї за допомогою моделі, в якій вакуум був подібний до пружного тіла. Він намагався також пояснити зміст свого нового рівняння за допомогою механічної моделі. Теорію Максвелла приймали дуже неохоче, по-перше, через модель, а по-друге, тому, що спочатку не було експериментального підтвердження. Тепер ми краще розуміємо, що справа в самих рівняннях, а не в моделі, за допомогою якої вони були отримані. Ми можемо тільки поставити запитання, чи правильні ці рівняння, чи вони помилкові. Відповідь дає експеримент. І рівняння Максвелла були підтверджені в незліченних експериментах. Якщо ми відкинемо всі будівельні риштування, якими користувався Максвелл, щоб побудувати рівняння, ми прийдемо до висновку, що прекрасна будівля, створена Максвеллом, тримається сама по собі. Він звів воєдино всі закони електрики й магнетизму і створив завершену й прекрасну теорію.
 
Покажімо, що додатковий член має саме той вигляд, який потрібен, щоб подолати виявлену Максвеллом складність. Узявши дивергенцію його рівняння (IV у табл. 18.1), ми маємо отримати, що дивергенція правої частини дорівнює нулю:

У другому доданку можна переставити порядок диференціювання за координатами і часом, так що рівняння може бути  переписано  у  вигляді

Але, згідно з першим із рівнянь Максвелла, дивергенція Е дорівнює ρ/ε₀. Підставляючи цю рівність у (18.4), ми прийдемо до рівняння (18.2), яке, як ми знаємо, правильне. І навпаки, якщо ми приймаємо рівняння Максвелла (а ми приймаємо їх тому, що ніхто ніколи не виявив експерименту, який спростував би їх), ми маємо дійти висновку, що заряд завжди зберігається.
 
Закони фізики не дають відповіді на запитання: «Що станеться, якщо заряд раптово виникне в цій точці, які будуть при цьому електромагнітні ефекти?». Відповіді дати не можна, тому що наші рівняння стверджують, що такого не відбувається. Якби це сталося, нам знадобилися б нові закони, але ми не можемо сказати, якими б вони були. Нам не доводилося спостерігати, як поводиться світ без збереження заряду. Згідно з нашими рівняннями, якщо ви раптово помістите заряд у якійсь точці, ви маєте принести його туди звідкись іще. У такому випадку ми можемо говорити про те, що відбулося.
 
Коли ми додали новий член у рівняння для ротора Е, ми виявили, що ним описується цілий новий клас явищ. Ми побачимо також, що невеликий додаток Максвелла до рівняння для ∇ X В має далекосяжні наслідки. Ми торкнемося лише деяких із них у цьому розділі.