Тепер варто було б трохи позайматися математикою; ми запишемо рівняння Максвелла в простішій формі. Ви, мабуть, вважатимете, що ми ускладнюємо їх, але якщо ви наберетеся терпіння, то раптово виявите їхню велику простоту. Хоча ви вже цілком звикли до кожного з рівнянь Максвелла, є все ж багато частин, які варто з'єднати воєдино. Ось саме цим ми і займемося.
Почнемо з ∇·В=0 — найпростішого з рівнянь. Ми знаємо, що воно означає, що В — є ротор чогось. Тому, якщо ви записали
Почнемо з ∇·В=0 — найпростішого з рівнянь. Ми знаємо, що воно означає, що В — є ротор чогось. Тому, якщо ви записали
Зображення
то вважайте, що ви вже розв'язали одне з рівнянь Максвелла. (Між іншим, зауважте, що воно залишається правильним для іншого вектора А′, якщо A′=A+ ∇ψ), де ψ — будь-яке скалярне поле, тому що ротор ∇ψ — нуль і В — як і раніше те саме. Ми говорили про це раніше.)
Тепер розберемо закон Фарадея ∇xE= –∂B/∂t, тому що він не містить жодних струмів чи зарядів. Якщо ми запишемо В як ∇ X А і продиференціюємо за t, то зможемо переписати закон Фарадея у формі
Тепер розберемо закон Фарадея ∇xE= –∂B/∂t, тому що він не містить жодних струмів чи зарядів. Якщо ми запишемо В як ∇ X А і продиференціюємо за t, то зможемо переписати закон Фарадея у формі
Зображення
Оскільки ми можемо диференціювати спочатку або за часом, або за координатами, то можна написати це рівняння також у вигляді
Зображення
Ми бачимо, що E+∂A/∂t — це вектор, ротор якого дорівнює нулю. Тому такий вектор є градієнтом чогось. Коли ми займалися електростатикою, у нас було ∇xE=0, і ми тоді вирішили, що Е — сам градієнт чогось. Нехай це градієнт від –φ (мінус для технічної зручності). Те саме зробимо і для E+∂A/∂t; покладемо
Зображення
Ми використовуємо те саме позначення φ, так що в електростатичному випадку, коли ніщо не змінюється з часом і ∂A/∂t зникає, Е буде нашим старим –vφ. Отже, закон Фарадея можна подати у формі
Зображення
Ми вже розв'язали два з рівнянь Максвелла і знайшли, що для опису електромагнітних полів Е і В потрібні чотири потенціальні функції: скалярний потенціал φ і векторний потенціал А, який, звісно, являє собою три функції.
Отже, А визначає частину Е, так само як і В. Що ж станеться, коли ми замінимо А на A′=A+∇ψ? Загалом Е мало б змінитися, якщо не вжити особливих заходів. Ми можемо, однак, допустити, що А змінюється так, щоб не впливати на поля Е і В (тобто не змінюючи фізики), якщо будемо завжди змінювати А і φ разом за правилами
Отже, А визначає частину Е, так само як і В. Що ж станеться, коли ми замінимо А на A′=A+∇ψ? Загалом Е мало б змінитися, якщо не вжити особливих заходів. Ми можемо, однак, допустити, що А змінюється так, щоб не впливати на поля Е і В (тобто не змінюючи фізики), якщо будемо завжди змінювати А і φ разом за правилами
Зображення
Тоді ні В, ні Е, отримані з рівняння (18.19), не змінюються.
Раніше ми вибирали ∇ ·А=0, щоб якось спростити рівняння статики. Тепер ми не збираємося так чинити; ми хочемо зробити інший вибір. Але зачекайте трохи, перш ніж ми скажемо, який це вибір, тому що пізніше стане зрозуміло, чому взагалі робиться вибір.
Тепер ми повернемося до двох рівнянь Максвелла, що залишилися, які пов'яжуть потенціали і джерела ρ і j. Оскільки ми можемо визначити А і φ зі струмів і зарядів, то можна завжди отримати Е і В з рівнянь (18.16) і (18.19), і ми матимемо іншу форму рівнянь Максвелла.
Почнемо з підстановки рівняння (18.19) у ∇·E=ρ/ε0; отримуємо
Раніше ми вибирали ∇ ·А=0, щоб якось спростити рівняння статики. Тепер ми не збираємося так чинити; ми хочемо зробити інший вибір. Але зачекайте трохи, перш ніж ми скажемо, який це вибір, тому що пізніше стане зрозуміло, чому взагалі робиться вибір.
Тепер ми повернемося до двох рівнянь Максвелла, що залишилися, які пов'яжуть потенціали і джерела ρ і j. Оскільки ми можемо визначити А і φ зі струмів і зарядів, то можна завжди отримати Е і В з рівнянь (18.16) і (18.19), і ми матимемо іншу форму рівнянь Максвелла.
Почнемо з підстановки рівняння (18.19) у ∇·E=ρ/ε0; отримуємо
Зображення
це можна записати ще у вигляді
Зображення
Таке перше рівняння, що пов'язує φ і А з джерелами.
Наше останнє рівняння буде найважчим. Ми почнемо з того, що перепишемо четверте рівняння Максвелла:
Наше останнє рівняння буде найважчим. Ми почнемо з того, що перепишемо четверте рівняння Максвелла:
Зображення
а потім виразимо В і Е через потенціали, використовуючи рівняння (18.16) і (18.19):
Зображення
Перший член можна переписати, використовуючи алгебраїчну тотожність ∇ x (∇xA) = ∇ (∇·A) – ∇2A; отримуємо
Зображення
Не дуже-то воно просте!
На щастя, тепер ми можемо скористатися нашою свободою в довільному виборі дивергенції А. Тепер ми збираємося зробити такий вибір, щоб рівняння для А і для φ розділилися, але мали ту саму форму. Ми можемо зробити це, вибираючи ,
На щастя, тепер ми можемо скористатися нашою свободою в довільному виборі дивергенції А. Тепер ми збираємося зробити такий вибір, щоб рівняння для А і для φ розділилися, але мали ту саму форму. Ми можемо зробити це, вибираючи ,
Зображення
Коли ми чинимо так, то другий і третій доданки в рівнянні (18.22) погашаються, і воно стає значно простішим:
Зображення
І наше рівняння (18.21) для φ набуває такої самої форми:
Зображення
Які гарні рівняння! Вони чудові насамперед тому, що добре розділилися — із густиною заряду стоїть φ, а зі струмом стоїть А. Далі, хоча ліва сторона виглядає трохи безглуздо — лапласіан разом із (∂/∂t)2, коли ми розкриємо її, то виявимо
Зображення
Це рівняння має приємну симетрію за х, у, z, t; тут (–1/с2) потрібне, звісно, тому, що час і координати різняться; у них різні одиниці.
Рівняння Максвелла привели нас до рівняння нового типу для потенціалів φ і А, але з тією самою математичною формою для всіх чотирьох функцій φ, Аx, Аy і Az. Раз ми навчилися розв'язувати ці рівняння, то можемо отримати В і Е з ∇XE і —∇φ —∂A/∂t. Ми приходимо до іншої форми електромагнітних законів, у точності еквівалентної рівнянням Максвелла; з ними в багатьох випадках мати справу набагато простіше.
Фактично ми вже розв'язували рівняння, дуже схоже на (18.26). Коли ми вивчали звук у розд. 47 (вип. 4), ми мали рівняння у формі
Рівняння Максвелла привели нас до рівняння нового типу для потенціалів φ і А, але з тією самою математичною формою для всіх чотирьох функцій φ, Аx, Аy і Az. Раз ми навчилися розв'язувати ці рівняння, то можемо отримати В і Е з ∇XE і —∇φ —∂A/∂t. Ми приходимо до іншої форми електромагнітних законів, у точності еквівалентної рівнянням Максвелла; з ними в багатьох випадках мати справу набагато простіше.
Фактично ми вже розв'язували рівняння, дуже схоже на (18.26). Коли ми вивчали звук у розд. 47 (вип. 4), ми мали рівняння у формі
Зображення
і бачили, що воно описує поширення хвиль у x-напрямку зі швидкістю c. Рівняння (18.26) це відповідне хвильове рівняння для трьох вимірів. Тому в області, де більше немає зарядів і струмів, розв'язок цих рівнянь не означає, що φ і А — нулі. (Хоча насправді нульовий розв'язок є одним із можливих розв'язків.) Є розв'язки, що являють собою певну сукупність φ і А, які змінюються з часом, але завжди рухаються зі швидкістю c. Поля просуваються вперед крізь вільний простір, як у нашому прикладі на початку розділу.
З новим членом, доданим Максвеллом у рівняння IV, ми змогли записати польові рівняння в термінах А і φ у формі, яка проста і одразу ж дає змогу виявити існування електромагнітних хвиль. Для багатьох практичних цілей усе ще буде зручно використовувати первісні рівняння в термінах E і В. Але вони — по той бік гори, на яку ми вже видерлися. Тепер ми можемо подивитися навколо. Усе виглядатиме інакше — на нас чекають нові, прекрасні краєвиди.
З новим членом, доданим Максвеллом у рівняння IV, ми змогли записати польові рівняння в термінах А і φ у формі, яка проста і одразу ж дає змогу виявити існування електромагнітних хвиль. Для багатьох практичних цілей усе ще буде зручно використовувати первісні рівняння в термінах E і В. Але вони — по той бік гори, на яку ми вже видерлися. Тепер ми можемо подивитися навколо. Усе виглядатиме інакше — на нас чекають нові, прекрасні краєвиди.