Решение уравнений Максвелла; потенциалы и волновое уравнение

Теперь стоило бы заняться немного математикой; мы запишем уравнения Максвелла в более простой форме. Вы, пожалуй, сочтете, что мы усложняем их, но если вы наберетесь терпения, то внезапно обнаружите их большую простоту. Хотя вы уже вполне привыкли к каждому из уравнений Максвелла, имеется все же много частей, которые стоит соединить воедино. Вот как раз этим мы и займемся.
 
Начнем с ∇·В=0 — простейшего из уравнений. Мы знаем, что оно подразумевает, что В — есть ротор чего-то. Поэтому, если вы записали

то считайте, что уже решили одно из уравнений Максвелла. (Между прочим, заметьте, что оно остается верно для другого вектора А′, если A′=A+ ∇ψ), где ψ — любое скалярное поле, потому что ротор ∇ψ — нуль и В — по-прежнему то же самое. Мы говорили об этом раньше.)
 
Теперь разберем закон Фарадея ∇xE= –∂B/∂t, потому что он не содержит никаких токов или зарядов. Если мы запишем В как ∇ X А и продифференцируем по t, то сможем переписать закон Фарадея в форме

Поскольку мы можем дифференцировать сначала либо по времени, либо по координатам, то можно написать это уравнение также в виде

Мы видим, что E+∂A/∂t — это вектор, ротор которого равен нулю. Поэтому такой вектор есть градиент чего-то. Когда мы занимались электростатикой, у нас было ∇xE=0, и мы тогда решили, что Е — само градиент чего-то. Пусть это градиент от –φ (минус для технических удобств). То же самое сделаем и для E+∂A/∂t; мы полагаем

Мы используем то же обозначение φ, так что в электростатическом случае, когда ничто не меняется со временем и ∂A/∂t исчезает, Е будет нашим старым –vφ. Итак, закон Фарадея можно представить в форме

Мы уже решили два из уравнений Максвелла и нашли, что для описания электромагнитных полей Е и В нужны четыре потенциальные функции: скалярный потенциал φ и векторный потенциал А, который, разумеется, представляет три функции.
 
Итак, А определяет часть Е, так же как и В. Что же произойдет, когда мы заменим А на A′=A+∇ψ? В общем, Е должно было бы измениться, если не принять особых мер. Мы можем, однако, допустить, что А изменяется так, чтобы не влиять на поля Е и В (т. е. не меняя физики), если будем всегда изменять А и φ вместе по правилам

Тогда ни В, ни Е, полученные из уравнения (18.19), не меняются.
 
Раньше мы выбирали ∇ ·А=0, чтобы как-то упростить уравнения статики. Теперь мы не собираемся так поступать; мы хотим сделать другой выбор. Но подождите немного, прежде чем мы скажем, какой это выбор, потому что позднее станет ясно,  почему вообще делается выбор.
 
Сейчас мы вернемся к двум оставшимся уравнениям Максвелла, которые свяжут потенциалы и источники ρ и j. Раз мы можем определить А и φ из токов и зарядов, то можно всегда получить Е и В из уравнений (18.16) и (18.19) и мы будем иметь другую форму уравнений Максвелла.
 
Начнем с подстановки уравнения (18.19) в ∇·E=ρ/ε₀; получаем

это можно записать еще в виде

Таково первое уравнение, связывающее φ и А с источниками.
 
Наше последнее уравнение будет самым трудным. Мы начнем с того, что перепишем четвертое уравнение Максвелла:

а затем выразим В и Е через  потенциалы,  используя уравнения (18.16) и (18.19):

Первый член можно переписать, используя  алгебраическое тождество ∇ x (∇xA) = ∇ (∇·A) – ∇²A; мы получаем

Не очень-то оно простое!
 
К счастью, теперь мы можем использовать нашу свободу в произвольном выборе дивергенции А. Сейчас мы собираемся сделать такой выбор, чтобы уравнения для А и для φ разделились, но имели одну и ту же форму. Мы можем сделать это, выбирая                           ,

Когда мы поступаем так, то второе и третье слагаемые в уравнении (18.22) погашаются,  и  оно становится много  проще:

И наше уравнение (18.21) для φ принимает такую же форму:

Какие красивые уравнения! Они великолепны прежде всего потому, что хорошо разделились — с плотностью заряда стоит φ, а с током стоит А. Далее, хотя левая сторона выглядит немного нелепо — лапласиан вместе с (∂/∂t)², когда мы раскроем ее, то обнаружим

Это уравнение имеет приятную симметрию по х, у, z, t; здесь (–1/с²) нужно, конечно, потому, что время и координаты различаются; у них разные единицы.
 
Уравнения Максвелла привели нас к нового типа уравнению для потенциалов φ и А, но с одной и той же математической формой для всех четырех функций φ, А_x, А_y и A_z. Раз мы научились решать эти уравнения, то можем получить В и Е из ∇XE и —∇φ —∂A/∂t. Мы приходим к другой форме электромагнитных законов, в точности эквивалентной уравнениям Максвелла; с ними во многих случаях обращаться гораздо проще.
Фактически мы уже решали уравнение, весьма похожее на (18.26). Когда мы изучали звук в гл. 47 (вып. 4), мы имели уравнение в форме

и видели, что оно описывает распространение волн в x-направлении со скоростью c. Уравнение (18.26) это соответствующее волновое уравнение для трех измерений. Поэтому в области, где больше нет зарядов и токов, решение этих уравнений не означает, что φ и А — нули. (Хотя на самом деле нулевое решение есть одно из возможных решений.) Имеются решения, представляющие некоторую совокупность φ и А, которые меняются со временем, но всегда движутся со скоростью c. Поля передвигаются вперед через свободное пространство, как в нашем примере  в  начале главы.
 
С новым членом, добавленным Максвеллом в уравнение IV, мы смогли записать полевые уравнения в терминах А и φ в форме, которая проста и сразу же позволяет выявить существование электромагнитных волн. Для многих практических целей еще будет удобно использовать первоначальные уравнения в терминах E и В. Но они — по ту сторону горы, на которую мы уже вскарабкались. Теперь мы можем посмотреть вокруг. Все будет выглядеть иначе — нас ожидают новые, прекрасные пейзажи.