Раніше ми вже обговорювали (розд. 3, § 4) потік тепла. Уявіть шматок якогось матеріалу, не обов'язково однорідного (у різних місцях може бути різна речовина), в якому температура змінюється від точки до точки. Як наслідок цих температурних змін виникає потік тепла, який можна позначити вектором h. Він являє собою кількість теплової енергії, що проходить за одиницю часу крізь одиничну площадку, перпендикулярну потоку. Дивергенція h є швидкістю виходу тепла з даного місця в розрахунку на одиницю об'єму:
Зображення
(Ми могли б, звісно, записати рівняння в інтегральній формі, як ми чинили в електродинаміці із законом Гаусса, тоді воно виражало б той факт, що потік крізь поверхню дорівнює швидкості зміни теплової енергії всередині матеріалу. Ми більше не будемо переводити рівняння з диференціальної форми в інтегральну і назад, це робиться точно так само, як в електростатиці.)
Швидкість, з якою тепло поглинається або народжується в різних місцях, звісно, залежить від умов задачі. Припустімо, наприклад, що джерело тепла міститься всередині матеріалу (можливо, радіоактивне джерело або опір, крізь який пропускають струм). Позначимо через s теплову енергію, що виробляється цим джерелом в одиниці об'єму за 1 с. Крім того, можуть виникнути втрати (або, навпаки, додаткове народження) теплової енергії за рахунок переходу в інші види внутрішньої енергії в даному об'ємі. Якщо u — внутрішня енергія в одиниці об'єму, то —du/dt відіграватиме також роль «джерела» теплової енергії. Отже, маємо
Швидкість, з якою тепло поглинається або народжується в різних місцях, звісно, залежить від умов задачі. Припустімо, наприклад, що джерело тепла міститься всередині матеріалу (можливо, радіоактивне джерело або опір, крізь який пропускають струм). Позначимо через s теплову енергію, що виробляється цим джерелом в одиниці об'єму за 1 с. Крім того, можуть виникнути втрати (або, навпаки, додаткове народження) теплової енергії за рахунок переходу в інші види внутрішньої енергії в даному об'ємі. Якщо u — внутрішня енергія в одиниці об'єму, то —du/dt відіграватиме також роль «джерела» теплової енергії. Отже, маємо
Зображення
Ми не збираємося тут обговорювати повне рівняння, величини в якому змінюються з часом, тому що ми проводимо аналогію з електростатикою, де ніщо не залежить від часу. Ми розглянемо тільки задачі з постійним потоком тепла, в яких постійні джерела створюють стан рівноваги. У таких випадках
Зображення
Потрібно мати, звісно, ще одне рівняння, яке описує, як потік тече в різних місцях. У багатьох речовинах потік тепла приблизно пропорційний швидкості зміни температури з положенням: що більша різниця температур, то більший потік тепла. Ми знаємо, що вектор потоку тепла пропорційний градієнту температури. Константа пропорційності K, що залежить від властивостей матеріалу, називається коефіцієнтом теплопровідності
Зображення
Якщо властивості матеріалу змінюються від точки до точки, то K=K (х, у, z) є функцією положення. [Рівняння (12.7) не таке фундаментальне, як (12.5), що виражає збереження теплової енергії, тому що воно залежить від характерних властивостей речовини.] Підставляючи тепер рівняння (12.7) в (12.6), отримуємо
Зображення
що в точності збігається за формою з (12.4). Задачі з постійним потоком тепла і задачі електростатики однакові. Вектор потоку тепла h відповідає Е, а температура T відповідає φ. Ми вже зазначали, що точкове теплове джерело створює поле температур, що змінюється, як 1/r, і потік тепла, що змінюється, як 1/r2. Це не більш ніж просте перенесення тверджень електростатики, що точковий заряд дає потенціал, що змінюється, як 1/r, і електричне поле, що змінюється, як 1/r2. Загалом ми можемо розв'язувати статистичні теплові задачі з тим самим ступенем легкості, як і задачі електростатики.
Розглянемо простий приклад. Нехай є циліндр радіусом a при температурі Т1, що підтримується за рахунок генерації тепла в циліндрі. (Це може бути, скажімо, дріт, яким тече струм, або трубка з конденсацією пари всередині циліндра.) Циліндр вкритий концентричною обшивкою з ізолювального матеріалу з теплопровідністю K. Нехай зовнішній радіус ізоляції дорівнює b, а в зовнішньому просторі підтримується температура Т2 (фіг. 12.1, а). Нам потрібно визначити швидкість втрати тепла дротом або паропроводом (байдуже чим), що проходить по центру циліндра. Нехай повна кількість тепла, що втрачається на довжині труби L, дорівнює G, його ми і хочемо знайти.
Як треба розв'язувати таку задачу? У нас є диференціальні рівняння, але оскільки вони такі самі, як в електростатиці, то математичний розв'язок їх нам уже відомий. Аналогічна задача електростатики стосується провідника радіусом a при потенціалі φ1 відокремленого від іншого провідника радіусом b при потенціалі φ2, з концентричним шаром діелектрика між ними (фіг. 12.1, б). Далі, оскільки потік тепла h відповідає електричному полю Е, то наша шукана величина G відповідає потоку електричного поля від одиничної довжини (іншими словами, електричному заряду на одиниці довжини, поділеному на ε0). Ми розв'язували електростатичну задачу за допомогою закону Гаусса. Нашу задачу про потік тепла будемо розв'язувати таким самим способом.
Із симетрії задачі ми бачимо, що h залежить тільки від відстані до центра. Тому ми оточимо трубку гаусовою поверхнею — циліндром довжиною L і радіусом r. За допомогою закону Гаусса ми виводимо, що потік тепла h, помножений на площу поверхні 2πrL, має дорівнювати повній кількості тепла, що народжується всередині, тобто тому, що ми назвали G:
Розглянемо простий приклад. Нехай є циліндр радіусом a при температурі Т1, що підтримується за рахунок генерації тепла в циліндрі. (Це може бути, скажімо, дріт, яким тече струм, або трубка з конденсацією пари всередині циліндра.) Циліндр вкритий концентричною обшивкою з ізолювального матеріалу з теплопровідністю K. Нехай зовнішній радіус ізоляції дорівнює b, а в зовнішньому просторі підтримується температура Т2 (фіг. 12.1, а). Нам потрібно визначити швидкість втрати тепла дротом або паропроводом (байдуже чим), що проходить по центру циліндра. Нехай повна кількість тепла, що втрачається на довжині труби L, дорівнює G, його ми і хочемо знайти.Як треба розв'язувати таку задачу? У нас є диференціальні рівняння, але оскільки вони такі самі, як в електростатиці, то математичний розв'язок їх нам уже відомий. Аналогічна задача електростатики стосується провідника радіусом a при потенціалі φ1 відокремленого від іншого провідника радіусом b при потенціалі φ2, з концентричним шаром діелектрика між ними (фіг. 12.1, б). Далі, оскільки потік тепла h відповідає електричному полю Е, то наша шукана величина G відповідає потоку електричного поля від одиничної довжини (іншими словами, електричному заряду на одиниці довжини, поділеному на ε0). Ми розв'язували електростатичну задачу за допомогою закону Гаусса. Нашу задачу про потік тепла будемо розв'язувати таким самим способом.
Із симетрії задачі ми бачимо, що h залежить тільки від відстані до центра. Тому ми оточимо трубку гаусовою поверхнею — циліндром довжиною L і радіусом r. За допомогою закону Гаусса ми виводимо, що потік тепла h, помножений на площу поверхні 2πrL, має дорівнювати повній кількості тепла, що народжується всередині, тобто тому, що ми назвали G:
Зображення
Потік тепла пропорційний градієнту температури
Зображення
або в даному випадку величина h дорівнює
Зображення
Разом з (12.9) це дає
Зображення
Інтегруючи від r=a до r=b, отримуємо
Зображення
Розв'язуючи відносно G, знаходимо
Зображення
Цей результат у точності відповідає формулі для заряду циліндричного конденсатора:
Зображення
Задачі однакові і мають однакові розв'язки. Знаючи електростатику, ми тим самим знаємо, скільки тепла втрачає ізольована труба.
Розглянемо ще один приклад. Припустімо, ми хочемо дізнатися потік тепла в околиці точкового джерела, розташованого неглибоко під поверхнею землі або ж поблизу поверхні великого металевого предмета. Як локалізоване джерело тепла може бути й атомна бомба, яка вибухнула під землею і являє собою потужне джерело тепла, або ж невеликий радіоактивний осередок усередині залізного блока — можливостей дуже багато.
Розглянемо ідеалізовану задачу про точкове джерело тепла, потужність якого G, на відстані a під поверхнею нескінченного однорідного середовища з коефіцієнтом теплопровідності K. Теплопровідністю повітря над поверхнею середовища ми знехтуємо. Ми хочемо визначити розподіл температури на поверхні середовища. Наскільки гарячо буде прямо над джерелом і в різних місцях на поверхні?
Як же розв'язати цю задачу? Вона схожа на задачу з електростатики, в якій є два матеріали з різною діелектричною проникністю х по обидва боки від межі, що їх розділяє. Тут щось є! Можливо, це схоже на точковий заряд поблизу межі між діелектриком і провідником або щось на кшталт цього. Подивимося, що відбувається поблизу межі. Фізична умова полягає в тому, що нормальна складова h на поверхні дорівнює нулю, оскільки ми припустили, що потоку з блока немає. Ми повинні поставити запитання: в якій електростатичній задачі виникає умова, що нормальна компонента електричного поля Е (що є аналогом h) дорівнює нулю біля поверхні? Немає такої!
Це один з тих випадків, до яких слід ставитися з обережністю. З фізичних причин можуть бути певні обмеження тих математичних умов, що виникають у якомусь випадку. Тому якщо ми проаналізували диференціальне рівняння тільки для деяких обмежених прикладів, то цілком можемо упустити низку розв'язків, що виникають в інших фізичних умовах. Наприклад, немає матеріалу, що має діелектричну проникність, яка дорівнює нулю, а теплопровідність вакууму дорівнює нулю. Тому немає електростатичного аналога ідеального теплоізолятора. Ми можемо, однак, спробувати використати ті самі методи. Спробуймо уявити, що сталося б, якби діелектрична проникність дорівнювала нулю. (Звісно, в реальних умовах діелектрична проникність ніколи не перетворюється на нуль. Але може трапитися випадок, коли речовина має дуже велику діелектричну проникність, так що діелектричною проникністю повітря поза середовищем можна знехтувати.)
Як же знайти електричне поле, яке не має складової, перпендикулярної до поверхні? Іншими словами, таке поле, яке всюди дотичне до поверхні? Ви помітите, що ця задача обернена до задачі про точковий заряд поблизу провідної площини. Там нам потрібне було поле, перпендикулярне до поверхні, тому що провідник усюди перебував при одному й тому самому значенні потенціалу.
У задачі про електричне поле ми придумали розв'язок, уявивши за провідною площиною точковий заряд. Можна скористатися знову цією самою ідеєю. Спробуємо вибрати таке «зображення» джерела, яке автоматично перетворювало б на нуль нормальну компоненту поля поблизу поверхні. Розв'язок показано на фіг. 12.2. Електричне зображення джерела з тим самим знаком і тієї самої величини, що міститься на відстані a над поверхнею, дає поле, горизонтальне всюди біля поверхні. Нормальні компоненти від обох джерел взаємно знищуються.
Отже, наша задача про потік тепла розв'язана. Температура в усьому просторі однакова за безпосередньою аналогією з потенціалом від двох однакових точкових зарядів. Температура T на відстані r від одного точкового джерела G у нескінченному середовищі дорівнює
Розглянемо ще один приклад. Припустімо, ми хочемо дізнатися потік тепла в околиці точкового джерела, розташованого неглибоко під поверхнею землі або ж поблизу поверхні великого металевого предмета. Як локалізоване джерело тепла може бути й атомна бомба, яка вибухнула під землею і являє собою потужне джерело тепла, або ж невеликий радіоактивний осередок усередині залізного блока — можливостей дуже багато.
Розглянемо ідеалізовану задачу про точкове джерело тепла, потужність якого G, на відстані a під поверхнею нескінченного однорідного середовища з коефіцієнтом теплопровідності K. Теплопровідністю повітря над поверхнею середовища ми знехтуємо. Ми хочемо визначити розподіл температури на поверхні середовища. Наскільки гарячо буде прямо над джерелом і в різних місцях на поверхні?
Як же розв'язати цю задачу? Вона схожа на задачу з електростатики, в якій є два матеріали з різною діелектричною проникністю х по обидва боки від межі, що їх розділяє. Тут щось є! Можливо, це схоже на точковий заряд поблизу межі між діелектриком і провідником або щось на кшталт цього. Подивимося, що відбувається поблизу межі. Фізична умова полягає в тому, що нормальна складова h на поверхні дорівнює нулю, оскільки ми припустили, що потоку з блока немає. Ми повинні поставити запитання: в якій електростатичній задачі виникає умова, що нормальна компонента електричного поля Е (що є аналогом h) дорівнює нулю біля поверхні? Немає такої!
Це один з тих випадків, до яких слід ставитися з обережністю. З фізичних причин можуть бути певні обмеження тих математичних умов, що виникають у якомусь випадку. Тому якщо ми проаналізували диференціальне рівняння тільки для деяких обмежених прикладів, то цілком можемо упустити низку розв'язків, що виникають в інших фізичних умовах. Наприклад, немає матеріалу, що має діелектричну проникність, яка дорівнює нулю, а теплопровідність вакууму дорівнює нулю. Тому немає електростатичного аналога ідеального теплоізолятора. Ми можемо, однак, спробувати використати ті самі методи. Спробуймо уявити, що сталося б, якби діелектрична проникність дорівнювала нулю. (Звісно, в реальних умовах діелектрична проникність ніколи не перетворюється на нуль. Але може трапитися випадок, коли речовина має дуже велику діелектричну проникність, так що діелектричною проникністю повітря поза середовищем можна знехтувати.)
Як же знайти електричне поле, яке не має складової, перпендикулярної до поверхні? Іншими словами, таке поле, яке всюди дотичне до поверхні? Ви помітите, що ця задача обернена до задачі про точковий заряд поблизу провідної площини. Там нам потрібне було поле, перпендикулярне до поверхні, тому що провідник усюди перебував при одному й тому самому значенні потенціалу.
У задачі про електричне поле ми придумали розв'язок, уявивши за провідною площиною точковий заряд. Можна скористатися знову цією самою ідеєю. Спробуємо вибрати таке «зображення» джерела, яке автоматично перетворювало б на нуль нормальну компоненту поля поблизу поверхні. Розв'язок показано на фіг. 12.2. Електричне зображення джерела з тим самим знаком і тієї самої величини, що міститься на відстані a над поверхнею, дає поле, горизонтальне всюди біля поверхні. Нормальні компоненти від обох джерел взаємно знищуються.Отже, наша задача про потік тепла розв'язана. Температура в усьому просторі однакова за безпосередньою аналогією з потенціалом від двох однакових точкових зарядів. Температура T на відстані r від одного точкового джерела G у нескінченному середовищі дорівнює
Зображення
(Це, звісно, повністю аналогічно φ= q/4πε0r.) Температура точкового джерела і, крім того, його зображення дорівнює
Зображення
Ця формула дає нам температуру всюди всередині блока. Кілька ізотермічних поверхонь наведено на фіг. 12.2. Показано також лінії h, які можна отримати з виразу h = – K∇T.
На самому початку нас цікавив розподіл температури на поверхні. Для точки на поверхні, що перебуває на відстані ρ від осі, r1 = r2 = √ρ2 + а2, отже,
На самому початку нас цікавив розподіл температури на поверхні. Для точки на поверхні, що перебуває на відстані ρ від осі, r1 = r2 = √ρ2 + а2, отже,
Зображення
Ця функція також зображена на фіг. 12.2. Природно, що температура прямо над джерелом вища, ніж далеко від нього. Задачі такого роду часто доводиться розв'язувати геофізикам. Тепер ми бачимо, що це ті самі задачі, які ми розв'язували в електриці.