Безвихрова течія рідини. Обтікання кулі

Розглянемо тепер приклад, по суті, не такий уже й хороший, тому що рівняння, які ми будемо використовувати, насправді не описують новий об'єкт повністю, а відповідають лише деяким ідеалізованим умовам. Це задача про течію води. Коли ми розбирали випадок натягнутої плівки, то наші рівняння являли собою наближення, справедливе лише для малих відхилень. При розгляді течії води ми вдамося до наближення іншого роду; ми повинні прийняти обмеження, які, взагалі кажучи, до звичайної води незастосовні. Ми розберемо тільки випадок постійної течії нестисливої, нев'язкої, позбавленої вихорів рідини. Потім ми опишемо течію, задавши їй швидкість v(r) як функцію положення r. Якщо рух постійний (єдиний випадок, для якого є електростатична аналогія), v не залежить від часу. Якщо ρ — густина рідини, то ρv — маса рідини, що проходить за одиницю часу крізь одиничну площадку. Із закону збереження речовини дивергенція ρv, взагалі кажучи, дорівнює зміні з часом маси речовини в одиниці об'єму. Ми припустимо, що процеси безперервного народження або знищення речовини відсутні. Збереження речовини вимагає тоді, щоб ∇·ρv=0. (У правій частині мало б стояти, взагалі кажучи, –∂ρ/∂t, але оскільки наша рідина нестислива, то ρ змінюватися не може.) Оскільки ρ скрізь однакове, то його можна винести, і наше рівняння запишеться просто

Чудово! Знову вийшла електростатика (без зарядів); рівняння цілком схоже на ∇·E=0. Ну не зовсім! В електростатиці не просто ∇·E=0. Є два рівняння. Одне рівняння ще не дає нам усього; потрібне додаткове рівняння. Щоб вийшов збіг з електростатикою, у вас rot від v мав би дорівнювати нулю. Але для справжніх рідин це загалом не так. У більшості з них зазвичай виникають вихори. Отже, ми обмежуємося випадком, коли циркуляція рідини відсутня. Таку течію часто називають безвихровою. Хай там як, приймаючи наші припущення, можна уявити собі течію рідини, аналогічну  електростатиці.  Отже,  ми  беремо

Ми хочемо підкреслити, що умови, за яких течія рідини підпорядковується цим рівнянням, трапляються вельми нечасто, але все ж бувають. Це мають бути випадки, коли поверхневим натягом, стисливістю і в'язкістю можна знехтувати і коли течію можна вважати безвихровою. Ці умови виконуються настільки рідко для звичайної води, що математик Джон фон Нейман сказав з приводу тих, хто аналізує рівняння (12.28) і (12.29), що вони вивчають «суху воду»! (Ми повернемося до задачі про течію рідини докладніше у  вип. 7, розд. 40 і 41.)
 
Оскільки ∇Xv=0, то швидкість «сухої води» можна записати у вигляді градієнта від деякого потенціалу

Який фізичний зміст ψ? Особливо корисного змісту немає. Швидкість можна записати у вигляді градієнта потенціалу просто тому, що течія безвихрова. За аналогією з електростатикою ψ називається потенціалом швидкостей, але він не пов'язаний з потенціальною енергією так, як це виходить для φ. Оскільки дивергенція v  дорівнює  нулю,  то

Потенціал швидкостей ψ підпорядковується тому самому диференціальному рівнянню, що й електростатичний потенціал у порожньому просторі (ρ=0).
 
Виберімо якусь задачу про безвихрову течію і подивімося, чи зможемо ми розв'язати її вивченими методами. Розглянемо задачу про кулю, що падає в рідині. Якщо вона рухається надто повільно, то сили в'язкості, якими ми нехтували, будуть суттєвими. Якщо вона рухається надто швидко, то слідом за нею йтимуть маленькі вихори (турбулентність) і виникне певна циркуляція води. Але якщо куля рухається і не надто швидко, і не надто повільно, то течія води буде більш чи менш відповідати нашим припущенням, і ми зможемо описати рух води нашими простими рівняннями.
Зручно описувати процес у системі координат, скріпленій з кулею. У цій системі координат ми ставимо запитання: як тече вода навколо нерухомої кулі, якщо на великих відстанях течія однорідна? Іншими словами, якщо далеко від кулі течія всюди однакова? Течія поблизу кулі матиме вигляд, показаний лініями потоку на фіг. 12.8. Ці лінії, завжди паралельні v, відповідають лініям напруженості електричного поля. Ми хочемо отримати кількісний опис поля швидкостей, тобто вираз для швидкості в будь-якій точці P.
 
Можна знайти швидкість як градієнт від ψ, тому спочатку визначимо потенціал. Ми хочемо знайти потенціал, який задовольняв би всюди (12.31) за таких двох умов: 1) течія відсутня у сферичній області за поверхнею кулі; 2) течія постійна на великих відстанях. Щоб виконувалося перше обмеження, компонента v, перпендикулярна до поверхні кулі, має перетворюватися на нуль. Це означає, що дψ/дr=0 при r=а. Для виконання другого обмеження потрібно мати дψ/дz =v₀ всюди, де r»а. Строго кажучи, немає жодної електростатичної задачі, яка б у точності відповідала нашій задачі. Вона фактично відповідає сфері з нульовою діелектричною проникністю, поміщеній в однорідне електричне поле. Якби ми мали розв'язок задачі для сфери з діелектричною проникністю х, то, поклавши x =0, негайно розв'язали б нашу  задачу.
 
Ми раніше не розібрали таку електростатичну задачу в усіх подробицях; зробімо це зараз. (Ми могли б одразу розв'язати задачу про рідину з v і ψ, але будемо користуватися Е і φ, тому що звикли до  них.)
 
Задача ставиться так: знайти такий розв'язок рівняння ∇²φ=0, щоб Е= –∇φ дорівнювало сталій, скажімо Е₀, для великих r і, крім того, щоб радіальна компонента Е дорівнювала нулю при r=а. Іншими словами,

Наша задача включає новий тип граничних умов — коли дφ/дr постійне, а не той, коли потенціал φ постійний на поверхні. Це трохи інша умова. Отримати відповідь одразу нелегко. Насамперед без кулі φ дорівнював би —E₀z. Тоді Е було б спрямоване по z і мало б усюди постійну величину Е₀. Ми вже дослідили випадок діелектричної кулі, поляризація всередині якої однорідна, і знайшли, що поле всередині поляризованої кулі однорідне, а поза нею воно збігається з полем точкового диполя, розташованого в центрі кулі. Напишімо, що шуканий розв'язок є суперпозицією однорідного поля плюс поле диполя. Потенціал диполя (див. розд. 6) є pz/4πε₀r³. Отже, ми припускаємо, що

Оскільки поле диполя спадає, як 1/r³, то на великих відстанях ми якраз маємо поле Е₀. Наше припущення автоматично задовольняє сформульовану вище другу умову (стор. 249). Але що нам взяти як силу диполя р? Для відповіді ми повинні використати іншу умову [рівняння (12.32)]. Ми повинні продиференціювати φ по r, але, звісно, це потрібно зробити при постійному куті θ, тому зручніше виразити спочатку φ через r і θ, а не через z і r. Оскільки z=r cos θ,  то

Радіальна складова Е є

Вона має дорівнювати нулю при r=а для всіх θ. Це буде виконано, якщо

Зауважте добре, що якби обидва члени в рівнянні (12.35) залежали б від θ по-різному, то ми не змогли б вибрати p так, щоб (12.35) перетворювалося на нуль при r=а для всіх кутів. Той факт, що це вийшло, означає, що ми були мудрі, написавши рівняння (12.33). Звісно, коли ми здогадувалися, ми заглядали наперед; ми знали, що знадобиться ще один член, який би, по-перше, задовольняв ∇²φ=0 (будь-яке дійсне поле задовольняє цьому), по-друге, залежав від cos θ і, по-третє, спадав би до нуля при великих r. Поле диполя — єдине, яке задовольняє всі три  вимоги.
 
За допомогою  (12.36) наш потенціал набуває вигляду

Розв'язок задачі про течію рідини можна записати просто:

Звідси прямо знаходиться v. Більше ми не будемо займатися цим питанням.