Дифузія нейтронів. Сферично-симетричне джерело в однорідному середовищі

Наведемо ще один приклад, що дає рівняння того самого вигляду, але цього разу стосується дифузії. У розд. 43 (вип. 4) ми розглянули дифузію іонів в однорідному газі та дифузію одного газу крізь інший. Тепер візьмемо інший приклад — дифузію нейтронів у матеріалі типу графіту. Ми обрали графіт (різновид чистого вуглецю), тому що вуглець не поглинає повільних нейтронів. Нейтрони подорожують у ньому вільно. Вони проходять по прямій у середньому кілька сантиметрів, перш ніж розсіються ядром і відхиляться убік. Тож якщо у нас є великий шматок графіту завтовшки в кілька метрів, то нейтрони, що спочатку перебували в одному місці, переходитимуть в інші місця. Ми опишемо їхню  усереднену поведінку,  тобто їхній середній потік.
 
Нехай N(x, y, z)ΔV — число нейтронів в елементі об'єму ΔV y точці (х, y, z). Рух нейтронів призводить до того, що одні покидають ΔV, а інші потрапляють у нього. Якщо в одній області опиняється нейтронів більше, ніж у сусідній, то звідти їх переходитиме в другу область більше, ніж навпаки; в результаті виникне потік. Повторюючи докази, наведені в розд. 43 (вип. 4), можна описати потік вектором потоку J. Його компонента J_x є результуюче число нейтронів, що проходять за одиницю часу крізь одиничну площадку, перпендикулярну  осі х.  Ми отримаємо тоді

де коефіцієнт дифузії D дається в термінах середньої швидкості ν і середньої довжини вільного пробігу l між зіткненнями:

Швидкість, з якою нейтрони проходять крізь якийсь елемент поверхні da, дорівнює J·nda (де n, як завжди,— одиничний вектор нормалі). Результуючий потік з елемента об'єму тоді дорівнює (користуючись звичайним гаусовим доведенням) ∇·JdV. Цей потік призводив би до зменшення числа нейтронів у ΔV, якщо нейтрони не генеруються всередині ΔV (за допомогою якоїсь ядерної реакції). Якщо в об'ємі присутні джерела, що виробляють S нейтронів за одиницю часу в одиниці об'єму, то результуючий потік з ΔV дорівнюватиме [S—(∂N/∂t)] ΔV.  Тоді  отримуємо

Комбінуючи (12.21) і (12.20), отримуємо рівняння дифузії нейтронів

У статичному випадку, коли ∂N/∂t =0, ми знову маємо рівняння (12.4)! Ми можемо скористатися нашими знаннями в електростатиці для розв'язання задач з дифузії нейтронів. Тож розв'яжімо якусь задачу. (Мабуть, ви дивуєтеся: навіщо розв'язувати нову задачу, якщо ми вже розв'язали всі задачі в електростатиці? Цього разу ми можемо розв'язати швидше саме тому, що електростатичні задачі дійсно вже розв'язані!)
 
Нехай є блок матеріалу, в якому нейтрони (скажімо, за рахунок поділу урану) народжуються рівномірно у сферичній області радіусом a (фіг. 12.7). Ми хотіли б дізнатися, чому дорівнює густина нейтронів усюди? Наскільки однорідна густина нейтронів в області, де вони народжуються? Чому дорівнює відношення нейтронної густини в центрі до нейтронної густини на поверхні області народження? Відповіді знайти легко. Густина нейтронів у джерелі S₀ стоїть замість густини зарядів ρ, тому наша задача така сама, як задача про однорідно заряджену сферу. Знайти N— це те саме, що знайти потенціал φ. Ми вже знайшли поля всередині й поза однорідно зарядженою сферою; для отримання потенціалу ми можемо їх проінтегрувати. Поза сферою потенціал дорівнює Q/4πε₀r, де повний  заряд  Q дається  відношенням 4πа³ρ/3. Отже,

Для внутрішніх точок внесок у поле дають тільки заряди Q(r), що містяться всередині сфери радіусом r;  Q(r) =4πr³ρ/3, отже,

Поле  зростає лінійно з r. Інтегруючи E, отримуємо φ:

На відстані радіуса а φ_зовн  має збігатися з φ_внутр, тому стала має дорівнювати ρа²/2ε₀. (Ми припускаємо, що потенціал φ дорівнює нулю на великих відстанях від джерела, а це для нейтронів відповідатиме перетворенню N на нуль.)  Отже,

Тепер ми одразу ж знайдемо густину нейтронів у нашій дифузійній задачі

На фіг 12.7 представлено залежність N від r.
 
Чому ж тепер дорівнює відношення густини в центрі до густини на краю? У центрі (r=0) вона пропорційна За²/2, а на краю (r=a) пропорційна 2а²/2; тому відношення густин дорівнює 3/2. Однорідне джерело не дає однорідної густини нейтронів. Як бачите, наші знання в електростатиці дають добру затравку для вивчення фізики ядерних реакторів.
 
Дифузія відіграє велику роль у багатьох фізичних обставинах. Рух іонів через рідину або електронів через напівпровідник підпорядковується все тому самому рівнянню. Ми знову й знову приходимо до одних і тих самих рівнянь.