У цьому параграфі ми звернемося до зовсім іншої фізичної проблеми — ми ж хочемо показати велике розмаїття можливостей. Цього разу ми зробимо дещо, що приведе нас до інтеграла того самого сорту, що ми знайшли в електростатиці. (Якщо перед нами стоїть математична задача, що приводить до якогось інтеграла, а цей інтеграл уже знайомий нам з іншої задачі, то дещо про його властивості нам відомо.) Візьмемо приклад з техніки освітлення. Нехай на відстані a над площиною є якесь джерело світла. Як освітлюватиметься поверхня? Чому дорівнює енергія випромінювання, що падає на одиничну площадку поверхні за одиницю часу (фіг. 12.9)? Ми припускаємо, що джерело сферично-симетричне, так що світло випромінюється однаково в усіх напрямках. Тоді кількість випроміненої енергії, що проходить крізь одиничну площадку, перпендикулярну потоку світла, змінюється обернено пропорційно квадрату відстані. Очевидно, що інтенсивність світла в напрямку нормалі дається такою самою формулою, що й електричне поле від точкового джерела. Якщо світлові промені падають на поверхню під кутом θ до нормалі, то I, енергія, що падає на одиничну площадку поверхні, зменшується в cos θ разів, тому що та сама енергія падає на площу в 1/cos θ разів більшу. Якщо ми назвемо силу нашого джерела S, тоді /n, освітленість поверхні, дорівнюєЗображення
де еr — одиничний вектор у напрямку від джерела, а n — одинична нормаль до поверхні. Освітленість /n відповідає нормальній компоненті електричного поля від точкового джерела із зарядом 4πε0S. Враховуючи це, ми бачимо, що для будь-якого розподілу джерел світла можна знайти відповідь, розв'язуючи відповідну задачу електростатики. Ми обчислюємо вертикальну компоненту електричного поля на площині від розподілу зарядів точно таким самим чином, як для джерел світла .
Розглянемо такий приклад. Нам потрібно для якогось експерименту влаштувати так, щоб стіл освітлювався рівномірно. Ми маємо довгі трубки флуоресцентних ламп, що випромінюють рівномірно по всій своїй довжині. Наш стіл можна освітити, розмістивши флуоресцентні трубки правильними рядами на стелі, яка міститься на висоті z над столом. Чому має дорівнювати найбільша відстань b від трубки до трубки, якщо ми хочемо, щоб поверхневе освітлення було рівномірним з точністю до однієї тисячної? Відповідь: 1) знайдіть електричне поле від набору рівномірно заряджених дротів з проміжком між ними, що дорівнює b; 2) підрахуйте вертикальну компоненту електричного поля; 3) визначте, чому має дорівнювати b, щоб хвилястість поля була не більша за одну тисячну.
У розд. 7 ми бачили, що електричне поле від ряду заряджених дротів можна подати у вигляді суми членів, кожен з яких дає синусоїдальну зміну поля з періодом b/n, де n — ціле число. Амплітуда будь-якого з цих членів дається рівнянням (7.44):
Розглянемо такий приклад. Нам потрібно для якогось експерименту влаштувати так, щоб стіл освітлювався рівномірно. Ми маємо довгі трубки флуоресцентних ламп, що випромінюють рівномірно по всій своїй довжині. Наш стіл можна освітити, розмістивши флуоресцентні трубки правильними рядами на стелі, яка міститься на висоті z над столом. Чому має дорівнювати найбільша відстань b від трубки до трубки, якщо ми хочемо, щоб поверхневе освітлення було рівномірним з точністю до однієї тисячної? Відповідь: 1) знайдіть електричне поле від набору рівномірно заряджених дротів з проміжком між ними, що дорівнює b; 2) підрахуйте вертикальну компоненту електричного поля; 3) визначте, чому має дорівнювати b, щоб хвилястість поля була не більша за одну тисячну.
У розд. 7 ми бачили, що електричне поле від ряду заряджених дротів можна подати у вигляді суми членів, кожен з яких дає синусоїдальну зміну поля з періодом b/n, де n — ціле число. Амплітуда будь-якого з цих членів дається рівнянням (7.44):
Зображення
Нам потрібно взяти тільки випадок n=1, раз ми хочемо отримати поле в точках, не надто близьких до дротів. Щоб отримати повний розв'язок, нам ще потрібно визначити коефіцієнти Аn, які ми поки що не знайшли (хоча вони знаходяться прямим обчисленням). Оскільки нам потрібно знати тільки А1, то можна оцінити його величину, вважаючи її рівною середній величині поля. Експоненційний множник тоді дає нам одразу відносну амплітуду змін. Якщо ми хочемо, щоб цей множник дорівнював 10–3, то b виявляється рівним 0,91 z.
Якщо проміжок між лампами зробити рівним 3/4 відстані до стелі, експоненційний множник тоді дорівнюватиме 1/4000, і ми маємо фактор надійності 4, так що ми можемо бути цілком певні, що освітлення буде постійним з точністю до однієї тисячної. (Точне обчислення показує, що A1 насправді вдвічі більше за середнє поле, так що точна відповідь буде b=0,8 z.) Дещо несподівано, що для настільки рівномірного освітлення допустимий проміжок між трубками виявився таким великим.
Якщо проміжок між лампами зробити рівним 3/4 відстані до стелі, експоненційний множник тоді дорівнюватиме 1/4000, і ми маємо фактор надійності 4, так що ми можемо бути цілком певні, що освітлення буде постійним з точністю до однієї тисячної. (Точне обчислення показує, що A1 насправді вдвічі більше за середнє поле, так що точна відповідь буде b=0,8 z.) Дещо несподівано, що для настільки рівномірного освітлення допустимий проміжок між трубками виявився таким великим.