Натягнута мембрана

Розглянемо тепер зовсім іншу галузь фізики, в якій тим не менш ми знову прийдемо до точно таких самих рівнянь. Візьмемо тонку гумову плівку — мембрану, натягнуту на велику горизонтальну раму (на кшталт шкіри на барабані). Натиснемо на мембрану в одному місці вгору, а в іншому — вниз (фіг. 12.3). Чи зможемо ми описати форму поверхні? Покажемо, як можна розв'язати цю задачу, коли відхилення мембрани не дуже великі.
У плівці діють сили, тому що вона натягнута. Якщо зробити в якомусь місці плівки невеликий розріз, то два краї розрізу розійдуться (фіг. 12.4). Отже, у плівці є поверхневий натяг, аналогічний одновимірному натягу розтягнутої мотузки. Визначимо величину поверхневого натягу т як силу на одиницю довжини, яка якраз утримала б разом дві сторони розрізу   (див. фіг. 12.4).
Припустімо тепер, що ми дивимося на вертикальний поперечний переріз мембрани. Він матиме вигляд якоїсь кривої, схожої на зображену на фіг. 12.5. Нехай u — вертикальне зміщення мембрани від її нормального положення, а x  і у — координати в горизонтальній площині. (Наведений переріз паралельний осі х.)
 
Візьмемо невеликий шматочок поверхні довжиною Δх і шириною Δу. На нього діють сили внаслідок поверхневого натягу вздовж кожного краю. Сила на стороні 1 (див. фіг. 12.5) дорівнюватиме τ₁Δу і спрямована по дотичній до поверхні, тобто під кутом θ₁ до горизонталі. Вздовж сторони 2 сила дорівнюватиме τ₂Δу і спрямована до поверхні під кутом θ₂. (Подібні сили будуть і на двох інших сторонах шматочка, але ми поки що забудемо про них.) Рівнодійна сила від сторін 1 і 2, що діє на шматочок угору, дорівнює

Ми обмежимося розглядом малих спотворень мембрани, тобто малих вигинів і нахилів: тоді ми зможемо замінити sin θ на tg θ і записати як ди/дх. Сила за цих умов дається виразом

Величину в дужках можна з тим самим успіхом записати (для малих Δx) як

тоді

Є і інший внесок у ΔF від сил на двох інших сторонах; повний  внесок, очевидно, дорівнює

Викривлення діафрагми викликані зовнішніми силами. Нехай f означає спрямовану вгору силу на одиничну площадку плівки (свого роду «тиск»), що виникає від зовнішніх сил. Якщо мембрана перебуває в рівновазі (статичний випадок), то ця сила повинна врівноважуватися щойно обчисленою внутрішньою силою [рівняння (12.16)]. Іншими словами,

Рівняння (12.16) тоді можна записати у вигляді

де під знаком ∇ ми тепер розуміємо, звісно, двовимірний оператор градієнта (д/дх, д/ду). У нас є диференціальне рівняння, що пов'язує u(х, у) з прикладеними силами f(x, у) і поверхневим натягом плівки τ(х, у), який, взагалі кажучи, може змінюватися від місця до місця. (Деформації тривимірного пружного тіла теж підпорядковуються таким рівнянням, але ми обмежимося двовимірним випадком.) Нас цікавитиме тільки випадок, коли натяг т постійний по всій плівці. Тоді замість (12.17) ми можемо записати

Знову ми отримали таке саме рівняння, як в електростатиці! Але цього разу воно стосується двох вимірів. Зміщення u відповідає φ, а f/τ відповідає ρ/ε₀. Тому та праця, яку ми витратили на нескінченні заряджені площини, або паралельні дроти великої довжини, або заряджені циліндри, стане у пригоді для натягнутої мембрани.
Припустімо, ми підтягуємо мембрану в якихось точках на певну висоту, тобто фіксуємо величину u в низці точок. В електричному випадку це аналогічно завданню певного потенціалу у відповідних місцях. Наприклад, ми можемо влаштувати додатний «потенціал», якщо підіпремо мембрану предметом, що має такий самий переріз, як і відповідний циліндричний провідник. Якщо, скажімо, ми підіпремо мембрану круглим стрижнем, поверхня набуде форми, зображеної на фіг. 12.6. Висота u має такий самий вигляд, як електростатичний потенціал φ зарядженого циліндричного стрижня. Вона спадає, як ln(1/r). (Нахил поверхні, що відповідає електричному полю  Е, спадає,  як  1/r.)
 
Натягнуту гумову плівку часто використовували для розв'язання складних електричних задач експериментальним шляхом. Аналогія використовується у зворотний бік! Для підняття мембрани на висоту, що відповідає потенціалам усього набору електродів, підставляють різні стрижні та смужки. Потім вимірювання висоти дають електричний потенціал в електростатичній задачі. Аналогія проводиться навіть ще далі. Якщо на мембрану покласти маленькі кульки, то їхній рух приблизно схожий на рух електронів у відповідному електричному полі. Таким способом можна наочно простежити за рухом «електронів» по їхніх траєкторіях. Цей метод був використаний для проєктування складної системи багатьох фотопомножувальних трубок (таких, наприклад, які використовуються в сцинтиляційному лічильнику або для керування передніми фарами в автомобілі кадилак). Метод використовується і досі, але його точність не дуже велика. Для точніших розрахунків краще знаходити поле числовим шляхом за допомогою великих електронних обчислювальних машин.