Ми знайшли розв'язок рівняння (21.7) для «точкового» джерела. Тепер постає нове питання: Який вигляд розв'язку для розосередженого джерела? Ну, це розв'язати легко; будь-яке джерело s(x, у, z, t) можна вважати таким, що складається із суми багатьох «точкових» джерел, розташованих поодинці в кожному елементі об'єму dV і що мають силу s(x, у, z, t)dV. Оскільки (21.7) лінійне, сумарне поле являє собою суперпозицію полів від усіх таких елементів джерела.
Використовуючи результати попереднього параграфа [див. (21.13)], ми отримаємо, що в момент t поле dψ у точці (x1, y1, z1) [або, коротше, у точці (1)], створюване елементом джерела sdV у точці (х2, у2. z2) [або, коротше, у точці (2)], виражається формулою
Використовуючи результати попереднього параграфа [див. (21.13)], ми отримаємо, що в момент t поле dψ у точці (x1, y1, z1) [або, коротше, у точці (1)], створюване елементом джерела sdV у точці (х2, у2. z2) [або, коротше, у точці (2)], виражається формулою
Зображення
де r12 — відстань від (2) до (1). Додавання внесків від усіх частин джерела означає, звичайно, інтегрування по всій області, де s≠0, так що ми маємо
Зображення
Інакше кажучи, поле в точці (1) у момент часу t являє собою суму всіх сферичних хвиль, випромінюваних у момент t—r12 /c усіма елементами джерела, розташованого в точці (2). Вираз (21.14) є розв'язком нашого хвильового рівняння для будь-якої системи джерел.
Тепер ми бачимо, як отримувати загальний розв'язок рівнянь Максвелла. Якщо розуміти під ψ скалярний потенціал φ, то функція джерела s перетворюється на ρ/ ε0. А можна вважати, що ψ являє одну з трьох компонент векторного потенціала А; тоді s означає відповідну компоненту j/ε0c2. Отже, якщо в усіх точках відома густина зарядів ρ(х, y, z, t) і густина струму j(х, у, z, t), то розв'язки рівнянь (21.4) і (21.5) можна виписати негайно:
Тепер ми бачимо, як отримувати загальний розв'язок рівнянь Максвелла. Якщо розуміти під ψ скалярний потенціал φ, то функція джерела s перетворюється на ρ/ ε0. А можна вважати, що ψ являє одну з трьох компонент векторного потенціала А; тоді s означає відповідну компоненту j/ε0c2. Отже, якщо в усіх точках відома густина зарядів ρ(х, y, z, t) і густина струму j(х, у, z, t), то розв'язки рівнянь (21.4) і (21.5) можна виписати негайно:
Зображення
Поля Е і В отримаються диференціюванням потенціалів [використовуються вирази (21.2) і (21.3)]. До речі, можна перевірити явно, що φ і А, отримані з (21.15) і (21.16), дійсно задовольняють рівність (21.6).
Ми розв'язали рівняння Максвелла. За будь-яких обставин, якщо тільки задані струми і заряди, з цих інтегралів можна визначити потенціали, а потім, продиференціювавши їх, отримати поля. Тим самим із теорією Максвелла покінчено. І це дозволяє нам також замкнути коло і повернутися до нашої теорії світла, тому що досить тільки підрахувати електричне поле заряду, що рухається, щоб зв'язати все це з нашою колишньою теорією світла. Все, що нам залишається зробити,— це взяти заряд, що рухається, обчислити з цих інтегралів його потенціал і потім з —∇φ—∂A/∂t, диференціюючи, знайти Е. Ми повинні отримати формулу (21.1). Роботи доведеться проробити багато, але принцип ясний.
Отже, ми дійшли до центру електромагнітного всесвіту. У нас у руках повна теорія електрики, магнетизму і світла, повний опис полів, створюваних зарядами, що рухаються, і багато, багато іншого. Уся споруда, зведена Максвеллом, у всій її повноті, красі і потужності зараз перед нами. Це, мабуть, одне з найвеличніших звершень фізики. І щоб нагадати про його важливість, ми переписуємо всі формули разом і обводимо їх гарною рамкою.
Ми розв'язали рівняння Максвелла. За будь-яких обставин, якщо тільки задані струми і заряди, з цих інтегралів можна визначити потенціали, а потім, продиференціювавши їх, отримати поля. Тим самим із теорією Максвелла покінчено. І це дозволяє нам також замкнути коло і повернутися до нашої теорії світла, тому що досить тільки підрахувати електричне поле заряду, що рухається, щоб зв'язати все це з нашою колишньою теорією світла. Все, що нам залишається зробити,— це взяти заряд, що рухається, обчислити з цих інтегралів його потенціал і потім з —∇φ—∂A/∂t, диференціюючи, знайти Е. Ми повинні отримати формулу (21.1). Роботи доведеться проробити багато, але принцип ясний.
Отже, ми дійшли до центру електромагнітного всесвіту. У нас у руках повна теорія електрики, магнетизму і світла, повний опис полів, створюваних зарядами, що рухаються, і багато, багато іншого. Уся споруда, зведена Максвеллом, у всій її повноті, красі і потужності зараз перед нами. Це, мабуть, одне з найвеличніших звершень фізики. І щоб нагадати про його важливість, ми переписуємо всі формули разом і обводимо їх гарною рамкою.
Зображення
