Мережі ідеальних елементів. Правила Кірхгофа

Як ми бачили в попередньому параграфі, дуже просто описувати ідеальні елементи схем, говорячи лише про те, що відбувається поза елементом. Струм і напруга пов'язані лінійно. Але дуже складно описати все те, що насправді відбувається всередині елемента, і вельми важко при цьому користуватися мовою рівнянь Максвелла. Уявіть, що вам треба точно описати електричні й магнітні поля всередині радіоприймача, який складається із сотень опорів, ємностей і самоіндукцій. Було б непосильною справою проаналізувати таку мішанину, користуючись рівняннями Максвелла. Але, роблячи безліч наближень, які ми описали в § 2, і переводячи суттєві риси реальних елементів схем мовою ідеалізації, можна проаналізувати електричне коло порівняно просто. Зараз ми покажемо, як це робиться. Нехай є коло, яке складається з генератора й кількох імпедансів, з'єднаних між собою так, як показано на фіг. 22.9. Згідно з нашими наближеннями, в областях між окремими елементами кола магнітного поля немає. Тому інтеграл від Е вздовж будь-якої кривої, яка не проходить крізь жоден з елементів, дорівнює нулю. Розглянемо криву Г, показану штрихом на фіг. 22.9, яка обходить усе коло. Контурний інтеграл від Е вздовж цієї кривої складається з кількох частин. Кожна частина — це інтеграл від одного затискача елемента кола до наступного. Ми назвали цей контурний інтеграл падінням напруги на елементі кола. Тоді весь контурний інтеграл дорівнює просто сумі падінь напруги на всіх елементах кола окремо:

А оскільки контурний інтеграл дорівнює нулю, то виходить, що сума різниць потенціалів уздовж усього замкненого контуру кола дорівнює нулю:

Цей результат випливає з одного з рівнянь Максвелла, яке стверджує, що в області, де немає магнітних полів, криволінійний інтеграл від Е по замкненому контуру дорівнює нулю. Тепер розглянемо інше коло (фіг. 22.10). Горизонтальна лінія, що з'єднує виводи а,b,с і d, намальована для того, щоб показати, що всі ці виводи пов'язані між собою або що вони з'єднуються дротами з мізерним опором. У будь-якому разі таке креслення означає, що всі виводи а, b, с, d перебувають під одним потенціалом, а виводи e, f, g і h — теж під одним. Тоді падіння напруги V на будь-якому з чотирьох елементів однакове.
 
Але одна з наших ідеалізацій полягала в тому, що на виводах імпедансів зосереджуються нехтовно малі кількості електрики. Припустімо тепер, що й електричним зарядом, який накопичується на з'єднувальних дротах, теж можна знехтувати. Тоді збереження заряду вимагає, щоб будь-який заряд, який покинув один з елементів кола, негайно входив у якийсь інший елемент кола. Або, що те саме, щоб алгебраїчна сума струмів, які входять у будь-яку з точок з'єднання, дорівнювала нулю. Під точкою з'єднання ми розуміємо будь-яку сукупність виводів, таких, як а, b, с, d, які з'єднані між собою. Така сукупність з'єднаних між собою виводів зазвичай називається «вузлом». Збереження заряду, отже, вимагає, щоб у колі, показаному на фіг. 22.10, було

Сума струмів, які входять у вузол, що складається з чотирьох виводів e, f, g, h, теж має дорівнювати нулю:

Зрозуміло, що це те саме рівняння, що й (22.15). Обидва ці рівняння не незалежні. Загальне правило говорить, що сума струмів, які втікають у будь-який вузол, повинна дорівнювати нулю:

Наш попередній висновок про те, що сума падінь напруги вздовж замкненого контуру дорівнює нулю, має виконуватися для кожного контуру складного кола. Так само наш результат, що сума сил струмів, які втікають у вузол, дорівнює нулю, теж має виконуватися для будь-якого вузла. Ці два рівняння відомі під назвою правил Кірхгофа. За їхньою допомогою можна знайти сили струмів і напруги в якому завгодно колі.
Розглянемо, наприклад, складніше коло (фіг. 22.11). Як визначити струми й напруги в ньому? Прямий шлях розв'язання такий. Розглянемо кожен із чотирьох допоміжних контурів кола. (Скажімо, один контур проходить через клеми a, b, e, d і назад до а.) Для кожного замкненого контуру напишемо рівняння першого правила Кірхгофа — сума падінь напруги вздовж будь-якого контуру дорівнює нулю. Треба пам'ятати, що падіння напруги вважається додатним, якщо напрямок обходу збігається з напрямком струму, і від'ємним, якщо напрямок обходу протилежний напрямку струму; і треба ще пам'ятати, що падіння напруги на генераторі дорівнює від'ємному значенню е.р.с. у цьому напрямку. Тож для контуру abeda виходить

Застосовуючи ті самі правила до решти контурів, отримаємо ще три подібні рівняння.
 
Після цього треба написати рівняння для струмів у кожному вузлі кола. Наприклад, додаючи всі струми у вузлі b, отримуємо

Аналогічно, у вузлі e  рівняння  для  струмів набуває  вигляду

У зображеній схемі таких рівнянь для струмів п'ять. Виявляється, однак, що будь-яке з цих рівнянь можна вивести з решти чотирьох, тому незалежних рівнянь лише чотири. Загалом у нашому розпорядженні вісім незалежних лінійних рівнянь: чотири для напруг, чотири для струмів. З них можна отримати вісім незалежних струмів. А якщо стануть відомі струми, то визначиться й усе коло. Падіння напруги на будь-якому елементі дається струмом крізь цей елемент, помноженим на його імпеданс (а для джерел напруги вони взагалі відомі заздалегідь).
 
Ми бачили, що одне з рівнянь для струму залежить від решти. Взагалі-то рівнянь для напруги теж можна написати більше, ніж потрібно. Хоча в схемі фіг. 22.11 і розглядалася тільки четвірка найменших контурів, але нічого не коштувало взяти інші контури й виписати для них рівняння для напруг. Можна було взяти, скажімо, шлях abcfeda. Або зробити обхід шляхом abcfehgda. Ви бачите, що контурів — безліч. І, аналізуючи складні схеми, нічого не коштує отримати надто багато рівнянь. Але хоч є правила, які підказують, як треба чинити, щоб вийшла найменша кількість рівнянь, зазвичай і так буває одразу зрозуміло, як виписати потрібну кількість найпростіших рівнянь. Крім того, одне-два зайвих рівняння шкоди не завдають. До неправильної відповіді вони не приведуть, хіба що трохи заплутають викладки.
 
У розд. 25 (вип. 2) ми показали, що, якщо два імпеданси z₁ і z₂ з'єднані послідовно, вони еквівалентні одиночному імпедансу z_s, що дорівнює

Крім того, було показано, що, коли два імпеданси з'єднані паралельно, вони  еквівалентні   одиночному   імпедансу z_p,що дорівнює

Якщо ви тепер озирнетеся назад, то побачите, що, виводячи ці результати, ви насправді користувалися правилами Кірхгофа. Часто можна проаналізувати складну схему, повторно застосовуючи формули для послідовного й паралельного імпедансів. Скажімо, таким способом можна проаналізувати схему, показану на фіг. 22.12. Імпеданси z₄ і z₅ можна замінити їхнім паралельним еквівалентом, те саме можна зробити з імпедансами z₆ і z₇,. Потім імпеданс z₂ можна скомбінувати з паралельним еквівалентом z₆ і z₇ за правилом послідовного з'єднання імпедансів. Так поступово можна звести всю схему до генератора, послідовно з'єднаного з одним імпедансом Z. І тоді струм крізь генератор просто дорівнює Ε/Z. А діючи у зворотному порядку, можна знайти струми в кожному імпедансі.
Однак бувають зовсім прості схеми, які цим методом не проаналізуєш. Наприклад, схема фіг. 22.13. Щоб проаналізувати це коло, треба розписати рівняння для струмів і напруг за правилами Кірхгофа. Зробімо це. Є тільки одне рівняння для струмів:

Викладки можна заощадити, якщо цей результат одразу ж підставити в рівняння для напруг. У цій схемі таких рівнянь два:

На два рівняння припадає два невідомі струми. Розв'язуючи їх, отримуємо I₁ і I₂:

А третій струм отримується як сума перших двох.
 
Ось  іще  приклад  кола,  яке  за правилами паралельних і послідовних  імпедансів  розрахувати не можна (фіг. 22.14). Таку схему називають «містком». Вона трапляється в багатьох приладах, що вимірюють імпеданси. У таких схемах зазвичай цікавляться таким питанням: як повинні співвідноситися різні імпеданси, щоб струм крізь імпеданс z_s дорівнював нулю? Вам надається право знайти ті умови, за яких це справді так.