Фільтри. Кола змінного струму. Фейнманівські лекції з фізики

У попередньому параграфі ми бачили, що нескінченна драбинчаста мережа (див. фіг. 22.20) безперервно поглинає енергію, якщо ця енергія підводиться з частотою, яка нижча за деяке критичне значення √4/LC, яке називають граничною частотою ω₀. У нас виникла думка, що цей ефект можна зрозуміти, виходячи з уявлення про безперервне перенесення енергії вздовж лінії. З іншого боку, на високих частотах (при ω>ω₀) безперервного поглинання енергії не буває; тоді слід очікувати, що струми, вочевидь, не зможуть «проникнути» далеко вздовж лінії. Подивімося, чи правильні ці уявлення.

Нехай передній кінець драбини з'єднаний з якимсь генератором змінного струму, і нас цікавить, як виглядає напруга, скажімо, у 754-й ланці драбини. Оскільки мережа нескінченна, при переході від однієї ланки до іншої відбувається завжди те саме; тож можна просто подивитися, що трапляється, коли ми переходимо від n-ї ланки до (n+1)-ї. Струми I_n і напруги V_n ми визначимо так, як показано на фіг. 22.21 ,а.

Напругу V_n₊₁ можна отримати з V_n, якщо згадати, що решту драбини (за n-ю ланкою) завжди можна замінити її характеристичним імпедансом z₀; і тоді достатньо проаналізувати тільки схему фіг. 22.21, б. Ми насамперед зауважуємо, що кожне V_n, оскільки це напруга на затискачах опору z₀, має дорівнювати I_nz₀. Крім того, різниця між V_n і V_n₊₁ дорівнює просто I_nz₁:

Тепер фактор поширення α — число дійсне, притому менше одиниці. Це означає, що напруга в деякій ланці завжди менша за напругу в попередній ланці; множник пропорційності дорівнює α. При частотах вище ω₀напруга швидко спадає в міру руху вздовж мережі. Крива модуля α як функції частоти схожа на графік, наведений на фіг. 22.22.

Ми бачимо, що поведінка α як вище, так і нижче ω₀ узгоджується з нашим уявленням про те, що мережа передає енергію при ω<ω₀ і затримує її при ω>ω₀. Кажуть, що мережа «пропускає» низькі частоти і «відкидає», або «відфільтровує», високі. Будь-яка мережа, влаштована так, щоб її характеристики змінювалися в зазначений спосіб, називається «фільтром». Ми проаналізували «фільтр низьких частот», або «низького пропускання».

Вас може здивувати — навіщо все це обговорення нескінченних мереж, якщо насправді вони неможливі? Але вся хитрість якраз у тому й полягає, що ті самі характеристики ви виявите і в скінченній мережі, якщо замкнете її імпедансом, який збігається з характеристичним імпедансом z₀. Практично, звичайно, неможливо точно відтворити характеристичний імпеданс кількома простими елементами, такими, як R, L і C. Але в деякій смузі частот нерідко цього можна досягти в доброму наближенні. Цим способом можна зробити скінченну фільтрувальну мережу з властивостями, дуже близькими до тих, що проявляються в нескінченному фільтрі. Скажімо, драбина L—C буде багато в чому поводитися так, як було описано, якщо на її кінці розміщено чистий опір R=√L/C.

А якщо в нашій драбині L—C ми поміняємо місцями L і C, щоб вийшла драбина, показана на фіг. 22.23,а, то вийде фільтр, який пропускає високі частоти і відкидає низькі. Користуючись уже отриманими результатами, легко зрозуміти, що відбувається в цій мережі. Ви вже, напевно, помітили, що завжди, коли L замінюється на С і навпаки, то й iω замінюється на 1/iω і навпаки. Отже, все, що відбувалося раніше з ω, тепер відбуватиметься з 1/ω. Зокрема, можна дізнатися, як змінюється α з частотою, узявши фіг. 22.22 і скрізь замість ω написавши 1/ω (фіг. 22.23,б).

Описані фільтри високих і низьких частот мають численні технічні застосування. Фільтр L—С низьких частот часто використовується як «згладжувальний» фільтр у колах постійного струму. Якщо нам треба отримати постійний струм від джерела змінного струму, ми вмикаємо випрямляч, який дає змогу текти струму тільки в один бік. З випрямляча виходить пульсівний струм, графік якого виглядає як функція V(t), показана на фіг. 22.24 Сталість такого струму — нікудишня: він хитається вгору й вниз, а нам потрібен постійний струм, чистенький, гладенький, як від батареї акумуляторів. Цього можна досягти, увімкнувши фільтр низьких частот між випрямлячем і навантаженням.

Із розд. 50 (вип. 4) ми вже знаємо, що часова функція на фіг. 22.24 може бути подана у вигляді накладання сталої напруги на синусну хвилю плюс синусну хвилю більшої частоти плюс ще більш високочастотну синусоїду і т. д., тобто як ряд Фур'є. Якщо наш фільтр — лінійний (тобто якщо, як ми припускали, L і C при зміні струмів або напруг не змінюються), то те, що виходить із фільтра, являє собою теж накладання виходів від кожної компоненти на вході. Якщо влаштувати так, щоб гранична частота ω₀ нашого фільтра була значно нижчою за найнижчу з частот функції V(t), то постійний струм (у якого ω=0) чудово пройде крізь фільтр, а амплітуда першої гармоніки буде добряче зрізана; ну а амплітуди вищих гармонік — тим більше. Отже, на виході можна отримати яку завгодно гладкість, залежно від того, на скільки ланок фільтра у вас вистачить грошей.

Високочастотний фільтр потрібен тоді, коли необхідно зрізати деякі низькі частоти. Наприклад, у грамофонному підсилювачі високочастотний фільтр можна використовувати, щоб музика не спотворювалася: він затримає низькочастотне гуркотіння моторчика й диска.

Можна ще робити й «смугові» фільтри, що відкидають частоти нижче деякої частоти ω₁ і частоти вище деякої іншої частоти ω₂ (більшої за ω₁), але зате пропускають усі частоти від ω₁ до ω₂. Це можна зробити просто, поєднавши високочастотний і низькочастотний фільтри, але зазвичай роблять драбинчасту схему, в якій імпеданси z₁ і z₂ мають складніший вигляд — вони самі є комбінаціями L і С. У такого смугового фільтра стала поширення може виглядати так, як на фіг. 22.25,а. Його можна використовувати, скажімо, щоб відокремлювати сигнали, які займають тільки деякий інтервал частот, наприклад кожен із каналів телефонного зв'язку у високочастотному телефонному кабелі або модульовану несучу частоту при радіопередачі.

У розд. 25 (вип. 2) ми бачили, що таке фільтрування можна здійснювати ще, використовуючи вибірковість звичайної резонансної кривої (для порівняння вона наведена на фіг. 22.25,б). Але резонансний фільтр для деяких цілей підходить гірше, ніж смуговий. Ви пам'ятаєте (це було в розд. 48, вип. 4), коли несуча частота ω_c, модульована «сигнальною» частотою ω_s, то загальний сигнал містить не тільки несучу, а й дві бічні частоти ω_c+ω_s і ω_c—ω_s. У резонансному фільтрі ці бічні смуги завжди якось послаблюються, і чим вища сигнальна частота, тим, як видно з рисунка, більше це послаблення. Тому «відгук на частоту» тут кепський. Вищі музичні тони й зовсім не проходять. Але якщо взяти смуговий фільтр, влаштований так, що ширина ω₂—ω₁ принаймні вдвічі більша за найвищу сигнальну частоту, то відгук на частоту буде для цікавих нам сигналів плоским.

Ще одне зауваження про драбинчастий фільтр: драбина L—C на фіг. 22.20 — це також наближене подання передавальної лінії (фідера). Якщо є довгий провідник, розташований паралельно іншому провіднику (скажімо, дріт, поміщений у коаксіальному кабелі або підвішений над землею), то між ними існує якась ємність і певна індуктивність (через магнітне поле між ними). Якщо уявити цю лінію складеною з невеликих ділянок Δl, то кожна ділянка схожа на одну ланку драбини L — С з послідовною індуктивністю ΔL і шунтувальною ємністю ΔС. Тому ми маємо право застосовувати тут наші результати для драбинчастого фільтра. Перейшовши до границі при Δl→0, ми отримаємо добрий опис передавальної лінії. Зауважте, що, коли Δl стає все меншим і меншим, зменшуються й ΔL, і ΔС, але вони зменшуються в одній і тій самій пропорції, так що відношення ΔL/ΔC не спадає. Тому, перейшовши в рівнянні (22.28) до границі при ΔL і ΔС, що прямують до нуля, ми побачимо, що характеристичний імпеданс z₀ — це чистий опір,величина якого дорівнює √ΔL/ΔC. Відношення ΔL/ΔC можна записати також у вигляді L₀/C₀, де L₀ і С₀— індуктивність і ємність одиниці довжини лінії; тоді