Імпеданси

В основному наші зусилля під час читання цих лекцій були спрямовані на те, щоб отримати повні рівняння Максвелла. У двох попередніх розділах ми обговорили наслідки цих рівнянь. З'ясувалося, що вони містять пояснення всіх статичних явищ, які ми вивчали раніше, і явищ електромагнітних хвиль і світла — питання, детально вивченого на самому початку нашого курсу. Рівняння Максвелла дають і те, і те, залежно від того, де обчислюються ці поля: поблизу струмів і зарядів чи далеко від них. Є й проміжна область, але про неї нічого цікавого сказати не можна; там жодних особливих явищ не відбувається.
 
Але в електромагнетизмі лишається ще кілька питань, які варто висвітлити. Треба буде обговорити питання зв'язку відносності й рівнянь Максвелла, тобто з'ясувати, що станеться, якщо на рівняння Максвелла подивитися з рухомої системи відліку. Важливе ще й питання про збереження енергії в електромагнітних системах. Крім того, існує велика область електромагнітних властивостей матеріалів; досі ми розглядали тільки електромагнітні поля в порожньому просторі, якщо не рахувати вивчення властивостей діелектриків. Та й під час вивчення світла лишалося ще кілька питань, які хотілося б розглянути ще раз з погляду рівнянь поля.
 
Зокрема, треба б ще раз повернутися до питання про показник заломлення (особливо у густих речовинах). Нарешті, цікаві явища, пов'язані   з   хвилями,   замкненими всередині обмеженої області простору. Ми коротко торкнулися цієї проблеми, коли вивчали звукові хвилі. Але рівняння Максвелла теж приводять до розв'язків, які являють собою хвилі електричних і магнітних полів, замкнені в якомусь об'ємі. В одному з наступних розділів ми розглянемо це питання, яке має важливі технічні застосування. А щоб підійти до нього, ми почнемо з того, що викладемо властивості електричних кіл при низьких частотах. Після цього ми зможемо порівняти такі системи, коли до рівнянь Максвелла застосовне майже статичне наближення, і системи, в яких переважають високочастотні ефекти.
 
Отже, зійдімо з величних і важкодоступних висот останніх кількох розділів і звернімо свій погляд на порівняно приземлену задачу — задачу про електричні кола. Втім, ми переконаємося, що навіть такі земні справи виявляються дуже заплутаними, якщо в них заглибитися достатньо серйозно.
 
У розд. 23 і 25 (вип. 2) ми вже обговорювали деякі властивості електричних кіл (контурів). Тепер ми повторимо частину викладеного там матеріалу, але докладніше. Ми, як і раніше, матимемо справу з лінійними системами й з напругами та струмами, які змінюються синусоїдально; тому ми можемо подати всі напруги й струми у вигляді комплексних чисел, користуючись експоненціальними позначеннями, введеними в розд. 22 (вип. 2). Отже, напруга V(t) , що змінюється з часом, записуватиметься у вигляді

де V — комплексне число, яке не залежить від t. При цьому, звичайно, мається на увазі, що справжня змінна в часі напруга V(t) подається дійсною частиною комплексної функції в правій частині рівняння.
 
Подібним же чином і всі інші величини, що змінюються в часі, вважатимуться такими, що змінюються синусоїдально з тією самою частотою ω. Ми писатимемо

У попередніх наших міркуваннях про електричні кола ми вважали, що такі речі, як індуктивність, ємність і опір, вам знайомі. Зараз ми трохи докладніше пояснимо, що розуміють під цими ідеалізованими елементами схем. Почнемо з індуктивності.
Індуктивність — це намотаний у кілька рядів дріт у формі котушки, два кінці якого виведені до затискачів на певній відстані від котушки (фіг. 22.1). Припустімо, що магнітне поле, яке створюють струми в котушці, не дуже поширюється на весь простір і не впливає на інші частини кола. Зазвичай цього досягають, надавши котушці форми коржика або намотавши її на відповідне залізне осердя (це стискає магнітне поле); можна ще помістити котушку всередину металевої коробочки: схематично це показано на фіг. 22.1. У будь-якому разі передбачається, що в зовнішній області біля затискачів a і b магнітним полем можна знехтувати. Крім того, ми вважатимемо, що електричним опором проводів у котушці можна знехтувати. І нарешті, вважають, що можна знехтувати й електричним зарядом, який виникає на поверхні дроту, коли створюються електричні поля.
 
З урахуванням усіх цих наближень і виникає те, що називають «ідеальною» індуктивністю. (Пізніше ми повернемося до цього пункту й поговоримо про те, що буває в реальних індуктивностях.) Про ідеальну індуктивність кажуть, що напруга на її затискачах дорівнює L(dI/dt). Чому? Коли через індуктивність тече струм, то всередині котушки створюється магнітне поле, пропорційне силі струму. Якщо струм із часом змінюється, то змінюється й магнітне поле. Взагалі кажучи, ротор Е дорівнює —dB/dt; можна сказати й інакше: контурний інтеграл від Е по будь-якому замкненому шляху дорівнює (з мінусом) швидкості зміни потоку В через контур. Уявіть тепер собі такий шлях: починається він на затискачі a і тягнеться вздовж котушки (увесь час лишаючись усередині дроту) до затискача b; потім повертається від затискача b до a повітрям у просторі поза котушкою. Контурний інтеграл від Е по цьому замкненому шляху можна записати у вигляді суми двох частин:

Як ми вже з'ясували раніше, всередині ідеального провідника електричні поля існувати не можуть. (Найменші поля викликали б нескінченно великі струми.) Тому інтеграл від затискача a до b через котушку дорівнює нулю. Весь внесок у контурний інтеграл від Е припадає на шлях зовні індуктивності, від затискача b до затискача a. А оскільки було припущено, що в просторі поза «коробкою» немає жодних магнітних полів, то ця частина інтеграла не залежить від вибору шляху. Отже, можна визначити поняття потенціалу обох затискачів. Різниця цих
двох потенціалів і є те, що називають напругою V, так що

Повний інтеграл по контуру — це те, що ми раніше називали е. р. с. Ε. Він, природно, дорівнює швидкості зміни магнітного поля в котушці. Ми вже знаємо, що ця е. р. с. дорівнює (зі знаком мінус) швидкості зміни струму, так що

де L — індуктивність котушки. Оскільки dl/dt=iωl, то маємо

Той спосіб, яким ми описали ідеальну індуктивність, ілюструє загальний підхід до інших ідеальних елементів кола — зазвичай їх називають «зосередженими» елементами. Властивості елемента повністю описуються мовою струмів і напруг, що виникають на його затискачах. Вдавшись до відповідних наближень, можна знехтувати величезною складністю тих полів, які виникають усередині об'єкта. Те, що відбувається всередині, відокремлюється від того, що відбувається зовні.
 
Для всіх елементів кола ми маємо намір зараз знайти співвідношення, подібні до формули (22.4). У ній напруга пропорційна силі струму з константою пропорційності, яка, взагалі кажучи, є комплексним числом. Цей комплексний коефіцієнт пропорційності називається імпедансом, і його прийнято позначати через z (не слід плутати з координатою z). У загальному випадку це функція частоти ω. Отже, для кожного зосередженого елемента ми напишемо

Для індуктивності маємо

Розглянемо з цього погляду ємність. Вона складається з двох провідних пластин (обкладок), від яких до потрібних затискачів відходять два дроти. Пластини можуть мати будь-яку форму і часто відокремлюються одна від одної якимось діелектриком. Це схематично зображено на фіг. 22.2. Ми знову робимо кілька спрощувальних припущень. Ми вважаємо, що пластини й дроти — ідеальні провідники, а ізоляція між пластинами теж ідеальна, так що крізь неї жодні заряди з пластини на пластину перейти не можуть. Далі ми припускаємо, що провідники розташовані близько один до одного, але зате значно віддалені від усіх інших провідників, так що всі лінії поля, вийшовши з однієї пластини, неодмінно закінчуються на іншій. І тоді заряди на пластинах завжди рівні й протилежні один одному, причому за величиною набагато перевищують величину заряду на поверхні дротів. І нарешті, ми вважаємо, що поблизу конденсатора магнітних полів немає.
 
Розглянемо тепер контурний інтеграл від Е вздовж замкненої петлі, яка починається на клемі a, проходить усередині дроту до верхньої обкладки конденсатора, перескакує проміжок між пластинами, проходить з нижньої обкладки на клему b і повертається до клеми a простором зовні конденсатора. Оскільки магнітного поля немає, контурний інтеграл від Е по цьому замкненому шляху дорівнює нулю. Інтеграл можна розбити на три частини:

Інтеграл уздовж дротів дорівнює нулю, тому що всередині ідеальних провідників електричного поля не буває. Інтеграл від затискача b до a зовні конденсатора дорівнює різниці потенціалів між клемами зі знаком мінус. А оскільки ми вважаємо, що обкладки якось ізольовані від решти світу, то загальний заряд двох обкладок має дорівнювати нулю; і якщо на верхній обкладці є заряд Q, то на нижній є заряд —Q. Раніше ми вже бачили, що якщо заряди двох провідників рівні й протилежні, + Q і – Q, то різниця потенціалів між ними є Q/C, де C — ємність цих провідників. Із (22.7) випливає, що різниця потенціалів між затискачами a і b дорівнює різниці потенціалів між  обкладками.  Тому

Електричний струм I, що втікає в конденсатор через клему a (і залишає його через клему b), дорівнює dQ/dt — швидкості зміни електричного заряду на обкладках. Записуючи dV/dt у вигляді iωV, можна зв'язок між струмом і напругою для конденсатора подати в такому вигляді:

Тоді імпеданс  z  конденсатора дорівнює

Третій елемент, який треба розглянути,— це опір. Але оскільки ми поки що не розглядали електричних властивостей реальних речовин, ми не готові обговорювати те, що діється всередині реального провідника. Доведеться просто прийняти як факт, що всередині реальних речовин можуть існувати електричні поля, що ці поля породжують потік електричного заряду (тобто струм) і що цей струм пропорційний інтегралу електричного поля від одного кінця провідника до іншого. Далі треба уявити собі ідеальний опір, зроблений так, як показано на фіг. 22.3. Два дроти, які ми вважаємо ідеальними провідниками, тягнуться від клем a і b до двох кінців бруска, зробленого з матеріалу, що чинить опір струму. Ідучи за нашою звичайною лінією міркувань, доходимо висновку, що різниця потенціалів між затискачами a і b дорівнює контурному інтегралу від зовнішнього електричного  поля, який дорівнює  також контурному  інтегралу від електричного поля по шляху, що проходить крізь брусок. Звідси випливає, що струм I через опір пропорційний напрузі V на затискачах:

де R називається опором. Пізніше ми переконаємося, що зв'язок між силою струму I і напругою V для реальних провідних матеріалів лише приблизно можна вважати лінійним. Ми переконаємося також, що вважати цю наближену пропорційність незалежною від частоти змін струму й напруги можна лише тоді, коли частота не надто висока. І тоді для змінних струмів напруга на затискачах виявляється у фазі зі струмом, а це означає, що опір — число дійсне:

Результати наших міркувань про три зосереджені елементи кола — індуктивність, ємність, опір — підсумовано на фіг. 22.4. На цьому рисунку, як і на попередніх, напруга позначена стрілкою, спрямованою від однієї клеми до іншої. Якщо напруга «позитивна», тобто якщо на клемі a потенціал вищий, ніж на клемі b, то стрілка вказує напрямок «падіння напруги».
 
Хоча зараз ми говоримо про змінні струми, звичайно, можна включити сюди й особливий випадок кіл постійного струму, якщо перейти до границі, коли частота ω прямує до нуля. При нульовій частоті, тобто при постійному струмі, імпеданс індуктивності прямує до нуля; між клемами настає коротке замикання. Імпеданс же ємності при постійному струмі прямує до нескінченності; коло між клемами розмикається. Брати до уваги при постійних струмах потрібно тільки звичайні опори: вони не залежать від частоти.
 
В описаних досі елементах кола струм і напруга були пропорційні один одному. Якщо один дорівнює нулю, то й інший дорівнює нулю. Зазвичай ми мислимо такою мовою: прикладена напруга «відповідає» за струм або струм «створює» напругу на клемах. Елемент ніби в певному сенсі «відповідає» на «прикладені» зовнішні умови. З цієї причини такі елементи називаються пасивними. Тим самим їх можна протиставити активним елементам, таким, як генератори, які ми розглянемо в наступному параграфі і які являють собою джерела коливань струмів або напруг у колі.