Сферичні хвилі від точкового джерела

У розд. 18 ми встановили, що рівняння  Максвелла можна розв'язувати підстановкою

де φ і А зобов'язані задовольняти рівнянням

і, крім того,  умові

Знайдемо тепер розв'язок рівнянь (21.4) і (21.5). Для цього треба вміти розв'язувати рівняння

де величина s (яка називається джерелом) відома. Ясно, що для рівняння (21.4) s відповідає ρ/ε₀, a ψ — це φ, а для рівняння (21.5) s відповідає j_x/ε₀c², якщо ψ — це А_x, і т. д. Але нас цікавить суто математична задача розв'язання (21.7) незалежно від того, який фізичний зміст мають ψ і s.
 
Там, де ρ і j дорівнюють нулю (це місце називається «пустотою»), там потенціали φ і A і поля Е і В задовольняють тривимірному хвильовому рівнянню без джерел; математична форма цього рівняння така:

У розд. 20 ми бачили, що розв'язки цього рівняння можуть являти хвилі різних сортів: плоскі хвилі, що біжать у х-напрямку ψ=f(t—x/c); плоскі хвилі, що біжать вздовж y або вздовж z або в будь-якому іншому напрямку; сферичні хвилі вигляду

(Розв'язки можна записати інакше — наприклад у вигляді циліндричних  хвиль, що розбігаються від осі.)
 
Ми тоді зауважили, що фізично формула (21.9) стосується не зовсім пустоти: на початку координат мають бути якісь заряди, інакше розбіжна хвиля не вийшла б. Іншими словами, формула (21.9) є розв'язком рівняння (21.8) всюди, крім безпосереднього околу точки r=0, де (21.9) являє собою розв'язок повного рівняння (21.7), у правій частині якого стоять джерела. Давайте тепер подивимося, що це за рівняння, тобто якого роду джерело s у рівнянні (21.7) повинно викликати хвилю типу (21.9).
 
Припустимо, що є сферична хвиля (21.9), і поглянемо, у що вона перетворюється при дуже малих r. Тоді запізненням  —r/с у f(t—r/с) можна знехтувати, і оскільки функція f плавна, ψ перетворюється на

Отже, ψ в точності схоже на кулонове поле заряду, розташованого на початку координат. Ми знаємо, що для невеликого згустку заряду, обмеженого дуже малою областю поблизу початку координат і що має густину ρ,

де Q= ∫ρdV. Такий потенціал φ задовольняє рівнянню

Дотримуючись тих самих розрахунків, ми повинні були б сказати, що φ з виразу (21.10) задовольняє рівнянню

де s пов'язане з f формулою

при

Єдина різниця в тому, що в загальному випадку s, а, отже, і S може виявитися функцією часу.
 
Далі дуже важливо те, що якщо ψ задовольняє (21.11) при малих r, то воно задовольняє також і (21.7). У міру наближення до початку координат залежність ψ від r типу 1/r приводить до того, що просторові похідні стають дуже великими. А похідні за часом залишаються тими самими. [Це просто похідні f(t) за часом.] Тож коли r прямує до нуля, множником ∂²ψ/∂t² у рівнянні (21.7) порівняно з ∇²ψ можна знехтувати, і (21.7) стає еквівалентним рівнянню  (21.11).
 
Підсумовуючи, можна сказати, що якщо функція джерела s(t) з рівняння (21.7) зосереджена на початку координат і її загальна величина дорівнює

то розв'язок рівняння (21.7) має вигляд

Вплив доданка з ∂²ψ/∂t² у (21.7) позначається лише на появі запізнення (t—r/с) у потенціалі кулонового типу.