У попередньому розділі ми бачили, що серед розв'язків рівнянь Максвелла є електромагнітні хвилі. Світлу, радіо, рентгенівським променям і т. д. відповідають електромагнітні хвилі, що відрізняються тільки довжиною хвилі. Ми вже докладно вивчали різні явища, пов'язані зі світлом. У цьому розділі ми хочемо зв'язати обидва питання і показати, що рівняння Максвелла дійсно могли служити основою для вивчення властивостей світла.
Наше вивчення світла ми почали з того, що виписали рівняння для електричного поля, створюваного зарядом, який міг якось довільно рухатися. Рівняння мало вигляд
Наше вивчення світла ми почали з того, що виписали рівняння для електричного поля, створюваного зарядом, який міг якось довільно рухатися. Рівняння мало вигляд
Зображення
Якщо заряд рухається довільним чином, то електричне поле, яке існує в деякій точці, у теперішній момент залежить тільки від положення і руху заряду в більш ранній момент часу, що відстає на інтервал, необхідний для того, щоб світло, рухаючись зі швидкістю с, пройшло відстань r′ від заряду до точки поля. Іншими словами, якщо вам потрібно знати електричне поле в точці (1) у момент t, ви повинні підрахувати положення (2′) заряду і його рух у момент (t–r′/c) [де r′ — відстань до точки (1)] з положення заряду (2′) у момент (t—r′/c). Штрихи тут нагадують вам, що r′ — це так звана «запізніла відстань» від точки (2′) до точки (1), а зовсім не теперішня відстань між точкою (2) — положенням заряду в момент t — і точкою поля (1) (фіг. 21.1). Зауважте, що зараз по-іншому визначається напрямок одиничного вектора еr. У розд. 28 і 34 (вип. 3) ми домовлялися, що r (а, отже, еr) буде показувати на джерело. Тепер же ми дотримуємося визначення, яке використовується у формулюванні закону Кулона, за яким r спрямовано від заряду [у точці (2)] до точки (1) поля. Єдина відмінність у тому, що нове r (і еr) протилежне старому.Ми бачили також, що якщо швидкість заряду v завжди набагато менша c і якщо розглядаються тільки точки, дуже віддалені від заряду, так що в (21.1) суттєвим є лише останній доданок, то поля можна також записати у вигляді
Зображення
Розглянемо детальніше, що дає повне рівняння (21.1). Вектор еr — це одиничний вектор, спрямований від «запізнілої» точки (2′) до точки (1). Тоді перший доданок дає те, чого слід було б очікувати, якби заряд у своєму «запізнілому» положенні створював кулонове поле,— це можна назвати «запізнілим кулоновим полем». Електричне поле обернено пропорційне квадрату відстані і спрямоване від «запізнілого» положення заряду (тобто вздовж вектора еr′).
Але це тільки перший доданок. Інші нагадують нам, що закони електрики не стверджують, що всі поля, залишаючись, як і були, статичними, просто починають запізнюватися (таке твердження часом доводиться чути). До «запізнілого кулонового поля» треба додати два інших доданки.
Другий говорить, що до запізнілого кулонового поля треба зробити «поправку», рівну швидкості зміни запізнілого кулонового поля, помноженій на r′/c, тобто на саме запізнення. Цей множник ніби прагне компенсувати запізнення в першому. Два перших доданки відповідають обчисленню «запізнілого кулонового поля» і потім екстраполяції його в майбутнє, на час r′/c, тобто якраз до моменту t ! Екстраполяція лінійна, ніби ми припустили, що «запізніле кулонове поле» буде, як і раніше, змінюватися зі швидкістю, розрахованою для заряду в точці (2`). Якщо поле змінюється повільно, ефект запізнення майже повністю зводиться нанівець поправочним доданком, і обидва доданки разом приводять до величини електричного поля, дуже близької до «миттєвого кулонового поля» заряду, що перебуває в точці (2).
Нарешті, у формулі (21.1) є ще третій доданок — друга похідна одиничного вектора еr′. Вивчаючи явище світла, ми по суті використали той факт, що вдалині від заряду два перших доданки спадають як обернений квадрат відстані і на великих відстанях виявляються надто слабкими порівняно з третім, який спадає як 1/r. Тому ми зосередили нашу увагу на останньому доданку і показали, що він (знову-таки на великих відстанях) пропорційний компоненті прискорення заряду, поперечній до лінії зору. (Крім того, майже всюди раніше ми розглядали тільки випадок, коли заряди рухалися нерелятивістськи. Релятивістські ефекти розглядалися тільки в розд. 34, вип. 3.)
Тепер треба спробувати зв'язати ці дві речі. У нас є рівняння Максвелла і є формула (21.1) для поля точкового заряду. Природно запитати, чи еквівалентні вони? Якщо ми зможемо вивести (21.1) з рівнянь Максвелла, то дійсно зрозуміємо зв'язок світла з електромагнетизмом. Виведення її і є головна мета цього розділу.
Виявляється, що повного виведення ми зробити не можемо — надто складні математичні деталі не дозволять нам вийти з поля бою без втрат. Але все ж ми підійдемо до мети досить близько, так що ви легко зрозумієте, як може бути встановлений зв'язок, що нас цікавить. Ми опустимо лише деякі математичні деталі. Математика цього розділу може здатися дехто з вас досить складною, і, можливо, вам навіть стане нудно уважно стежити за виведенням. Але ми все ж вважаємо, що дуже важливо зв'язати те, що ви вчили раніше, з тим, що ви вивчаєте зараз, або принаймні продемонструвати, як цей зв'язок може бути встановлений. Якщо ви не забули попередні розділи, то зверніть увагу на те, що щоразу, як ми приймали якесь твердження за вихідну точку обговорення, ми дбайливо пояснювали, чи є це твердження новим «припущенням», тобто чи відображає воно основний закон природи, чи ж його можна врешті-решт вивести з якихось інших законів. Дух цих лекцій зобов'язує нас обговорити зв'язок між світлом і рівняннями Максвелла. Можливо, вам буде десь і важко — з цим уже нічого не вдієш: іншого шляху не існує.
Але це тільки перший доданок. Інші нагадують нам, що закони електрики не стверджують, що всі поля, залишаючись, як і були, статичними, просто починають запізнюватися (таке твердження часом доводиться чути). До «запізнілого кулонового поля» треба додати два інших доданки.
Другий говорить, що до запізнілого кулонового поля треба зробити «поправку», рівну швидкості зміни запізнілого кулонового поля, помноженій на r′/c, тобто на саме запізнення. Цей множник ніби прагне компенсувати запізнення в першому. Два перших доданки відповідають обчисленню «запізнілого кулонового поля» і потім екстраполяції його в майбутнє, на час r′/c, тобто якраз до моменту t ! Екстраполяція лінійна, ніби ми припустили, що «запізніле кулонове поле» буде, як і раніше, змінюватися зі швидкістю, розрахованою для заряду в точці (2`). Якщо поле змінюється повільно, ефект запізнення майже повністю зводиться нанівець поправочним доданком, і обидва доданки разом приводять до величини електричного поля, дуже близької до «миттєвого кулонового поля» заряду, що перебуває в точці (2).
Нарешті, у формулі (21.1) є ще третій доданок — друга похідна одиничного вектора еr′. Вивчаючи явище світла, ми по суті використали той факт, що вдалині від заряду два перших доданки спадають як обернений квадрат відстані і на великих відстанях виявляються надто слабкими порівняно з третім, який спадає як 1/r. Тому ми зосередили нашу увагу на останньому доданку і показали, що він (знову-таки на великих відстанях) пропорційний компоненті прискорення заряду, поперечній до лінії зору. (Крім того, майже всюди раніше ми розглядали тільки випадок, коли заряди рухалися нерелятивістськи. Релятивістські ефекти розглядалися тільки в розд. 34, вип. 3.)
Тепер треба спробувати зв'язати ці дві речі. У нас є рівняння Максвелла і є формула (21.1) для поля точкового заряду. Природно запитати, чи еквівалентні вони? Якщо ми зможемо вивести (21.1) з рівнянь Максвелла, то дійсно зрозуміємо зв'язок світла з електромагнетизмом. Виведення її і є головна мета цього розділу.
Виявляється, що повного виведення ми зробити не можемо — надто складні математичні деталі не дозволять нам вийти з поля бою без втрат. Але все ж ми підійдемо до мети досить близько, так що ви легко зрозумієте, як може бути встановлений зв'язок, що нас цікавить. Ми опустимо лише деякі математичні деталі. Математика цього розділу може здатися дехто з вас досить складною, і, можливо, вам навіть стане нудно уважно стежити за виведенням. Але ми все ж вважаємо, що дуже важливо зв'язати те, що ви вчили раніше, з тим, що ви вивчаєте зараз, або принаймні продемонструвати, як цей зв'язок може бути встановлений. Якщо ви не забули попередні розділи, то зверніть увагу на те, що щоразу, як ми приймали якесь твердження за вихідну точку обговорення, ми дбайливо пояснювали, чи є це твердження новим «припущенням», тобто чи відображає воно основний закон природи, чи ж його можна врешті-решт вивести з якихось інших законів. Дух цих лекцій зобов'язує нас обговорити зв'язок між світлом і рівняннями Максвелла. Можливо, вам буде десь і важко — з цим уже нічого не вдієш: іншого шляху не існує.