У попередньому параграфі ми пішли на спрощення при обчисленні інтеграла для А, розглядаючи тільки невеликі швидкості. Але при цьому ми йшли таким шляхом, яким легко можна прийти і до нових висновків. Тому зараз ми заново розпочнемо розрахунок потенціалів точкового заряду, що рухається вже, як йому заманеться (навіть з релятивістською швидкістю). Як тільки ми отримаємо цей результат, у нас у руках виявляться електромагнітні властивості електричних зарядів у всій їхній повноті. Навіть формулу (21.1′) можна буде тоді легко отримати, взявши тільки потрібні похідні. І наша розповідь вдасться, нарешті, довести до кінця. Отже, запасіться терпінням!
Спробуємо підрахувати в точці (x1, у1, z1) скалярний потенціал φ(1), створюваний точковим зарядом (на кшталт електрона), що рухається будь-яким, яким завгодно чином. Під «точковим» зарядом мається на увазі дуже маленька заряджена кулька, така маленька, як тільки можна собі уявити, з густиною заряду ρ(х, у, z). Потенціал φ можна знайти з (21.15):
Спробуємо підрахувати в точці (x1, у1, z1) скалярний потенціал φ(1), створюваний точковим зарядом (на кшталт електрона), що рухається будь-яким, яким завгодно чином. Під «точковим» зарядом мається на увазі дуже маленька заряджена кулька, така маленька, як тільки можна собі уявити, з густиною заряду ρ(х, у, z). Потенціал φ можна знайти з (21.15):
Зображення
На перший погляд здається (і майже всі так і подумають), що відповідь полягає в тому, що інтеграл від ρ по такому «точковому» заряду дорівнює просто загальному заряду q, тобто що
Зображення
Через r′12 тут позначено радіус-вектор від заряду в точці (2) до точки (1), виміряний у більш ранній час (t—r12/с). Ця формула помилкова.
Правильна відповідь така:
Правильна відповідь така:
Зображення
де vr′ — компонента швидкості заряду, паралельна r12, тобто спрямована до точки (1). Зараз я поясню, чому це так. Щоб легше було стежити за моїми доводами, я спершу проведу розрахунок для «точкового» заряду у формі невеликого зарядженого кубика, який рухається до точки (1) зі швидкістю v (фіг. 21.5). Сторона куба буде а, це число нехай буде набагато менше r12 [відстані від центру заряду до точки (1)].Щоб оцінити величину інтеграла (21.28), ми повернемося до основного визначення: запишемо його у вигляді суми
Зображення
де ri — відстань від точки (1) до i-го елемента об'єму ΔVi, а ρi— густина заряду в ΔVi у момент ti= (t—ri/c). Оскільки всі ri»а, зручно буде вибрати всі ΔVi у вигляді тонких прямокутних скибок, перпендикулярних до r12 (фіг. 21.6).Припустимо, що ми почали з того, що взяли елементи об'єму ΔVi деякої товщини w, набагато меншої a.
Окремі елементи об'єму матимуть вигляд, показаний на фіг. 21.7, а. Їх намальовано набагато більше, ніж потрібно, щоб закрити весь заряд. А сам заряд не показаний, і з дуже суттєвої причини. Де його потрібно намалювати? Адже для кожного елемента об'єму ΔVi треба брати ρ у свій момент ti=(t—ri /c). Але раз заряд рухається, то для кожного елемента об'єму ΔVi він опиниться в іншому місці!Почнемо, скажімо, з елемента об'єму 1 на фіг. 21.7, а, вибраного так, щоб у момент t1= (t — r1/c) «задня» грань заряду припала на ΔVi (фіг. 21.7, б). Тоді, обчислюючи ρ2ΔV2, потрібно взяти положення заряду в трохи більш пізній час t2=(t — r2/c) і заряд до цього часу зміститься в положення, показане на фіг. 21.7, в. Так само буде з ΔV3, ΔV4 і т. д. Ось тепер можна підраховувати суму.
Товщина кожного ΔVi дорівнює w, а об'єм wa2. Тому кожен елемент об'єму, що накладається на розподіл ряду, містить у собі заряд wa2ρ, де ρ — густина заряду всередині куба (ми вважаємо її однорідною). Коли відстань від заряду до точки (1) велика, то можна всі ri у знаменниках прирівняти до деякого середнього значення, скажімо, взятого з урахуванням запізнення положення r′ центру куба. Сума (21.30) перетворюється на
Зображення
де ΔVN,—той останній елемент ΔVi, який ще накладається на розподіл зарядів (див. фіг. 21.7, д). Сума тим самим дорівнює
Зображення
Але ρа3 — просто загальний заряд q, a Nw—довжина b, показана на фіг. 21.7, ∂. Виходить
Зображення
А чому ж дорівнює b? Це довжина куба зарядів, збільшена на відстань, пройдену зарядом за час від t1 = (t—r1 /c)
до tN=(t—rN/c). Це відстань, пройдена зарядом за час
до tN=(t—rN/c). Це відстань, пройдена зарядом за час
Зображення
А оскільки швидкість заряду дорівнює v, то пройдена відстань дорівнює vΔt = vb/c. Але довжина b — сама ця відстань плюс a:
Зображення
Звідси
Зображення
Тут, звичайно, під v мається на увазі швидкість у «запізнілий» момент t′ = (t—r′/с); це можна вказати, записавши [1 — v/c]зап; тоді рівняння (21.23) для потенціала набуває вигляду
Зображення
Це узгоджується з тим, що було припущено в (21.29). З'явився поправочний множник. Він з'явився тому, що в той час, як наш інтеграл «проноситься над зарядом», сам заряд рухається. Коли заряд рухається до точки (1), його внесок в інтеграл збільшується в b/а раза. Тому правильне значення інтеграла дорівнює q/r′, помноженому на b/а, тобто на 1/[1—v/c]зaп.
Якщо швидкість заряду спрямована не до точки спостереження (1), то легко бачити, що важлива тільки складова його швидкості в напрямку до точки (1). Якщо позначити цю складову швидкості через vr , то поправочний множник запишеться у вигляді 1/[1—vr/с]зап. Крім того, проведений нами аналіз однаковою мірою годиться для розподілу заряду будь-якої форми (це не обов'язково повинен бути куб). Нарешті, оскільки «розмір» a заряду не увійшов до остаточного підсумку, то той самий результат вийде, якщо заряд стягнеться до будь-яких розмірів, аж до точки. Загальний результат полягає в тому, що скалярний потенціал точкового заряду, що рухається з довільною швидкістю, дорівнює
Якщо швидкість заряду спрямована не до точки спостереження (1), то легко бачити, що важлива тільки складова його швидкості в напрямку до точки (1). Якщо позначити цю складову швидкості через vr , то поправочний множник запишеться у вигляді 1/[1—vr/с]зап. Крім того, проведений нами аналіз однаковою мірою годиться для розподілу заряду будь-якої форми (це не обов'язково повинен бути куб). Нарешті, оскільки «розмір» a заряду не увійшов до остаточного підсумку, то той самий результат вийде, якщо заряд стягнеться до будь-яких розмірів, аж до точки. Загальний результат полягає в тому, що скалярний потенціал точкового заряду, що рухається з довільною швидкістю, дорівнює
Зображення
Це рівняння часто пишуть в еквівалентному вигляді:
Зображення
де r — вектор, що з'єднує заряд з тією точкою (1), у якій обчислюється потенціал φ, а всі величини в дужках треба обчислювати в «запізнілий» момент часу t′=(t—r′/с).
Те саме виходить і тоді, коли за (21.16) обчислюють А для точкового заряду. Густина струму дорівнює ρv, а інтеграл від ρ — той самий, що і в φ. Векторний потенціал дорівнює
Те саме виходить і тоді, коли за (21.16) обчислюють А для точкового заряду. Густина струму дорівнює ρv, а інтеграл від ρ — той самий, що і в φ. Векторний потенціал дорівнює
Зображення
Потенціали точкового заряду в цій формі вперше були отримані Лієнаром і Віхертом. Їх так і називають: потенціали Лієнара — Віхерта.
Щоб замкнути коло і повернутися до формули (21.1), тепер потрібно тільки підрахувати Е і В із цих потенціалів (за допомогою B=∇xA і Е=—∇φ—∂A/∂t). Тепер залишається одна арифметика. Утім, арифметика ця досить заплутана, тож ми не будемо наводити тут деталі підрахунку. Доведеться повірити мені на слово, що формула (21.1) еквівалентна виведеним нами потенціалам Лієнара — Віхерта.
Щоб замкнути коло і повернутися до формули (21.1), тепер потрібно тільки підрахувати Е і В із цих потенціалів (за допомогою B=∇xA і Е=—∇φ—∂A/∂t). Тепер залишається одна арифметика. Утім, арифметика ця досить заплутана, тож ми не будемо наводити тут деталі підрахунку. Доведеться повірити мені на слово, що формула (21.1) еквівалентна виведеним нами потенціалам Лієнара — Віхерта.