Ми поки ще не провели обіцяного виведення формули (21.1) для електричного поля точкового заряду, що рухається. Навіть знаючи те, що ми вже знаємо, це виведення все одно провести нелегко. Нам не вдалося виявити формулу (21.1) ніде, ні в яких книжках і статтях (крім перших випусків цих лекцій). Це свідчить про те, що виведення її непросте. (Поля заряду, що рухається, записувалися неодноразово й в інших виглядах, які всі, звичайно, еквівалентні.) Ми обмежимося тому тут тим, що просто покажемо на декількох прикладах, що (21.15) і (21.16) приводять до тих самих результатів, що і (21.1). Насамперед ми покажемо, що за тієї єдиної умови, що рух зарядженої частинки є нерелятивістським, (21.1) приводить до правильної величини полів. (Уже цей окремий випадок покриває 90% усього того, що було сказано про явище світла.)Розглянемо таку ситуацію, коли є згусток зарядів, який якимось чином переміщується в невеликій області; потрібно знайти створювані ним десь удалині від цього місця поля. Можна поставити питання і інакше: ми знайдемо поле на довільній відстані від точкового заряду, який майже непомітно коливається вгору і вниз. Оскільки світло зазвичай випромінюють такі нейтральні тіла, як атоми, то ми будемо вважати, що наш коливний заряд q розташований поблизу нерухомого, рівного за величиною, але протилежного за знаком заряду. Якщо відстань між центрами зарядів дорівнює d, то в зарядів з'явиться дипольний момент p=qd, який ми будемо вважати функцією часу. Слід очікувати, що поблизу зарядів запізненням поля можна буде знехтувати; електричне поле буде в точності таким самим, як і те, яке отримувалося раніше для електростатичного диполя [але, звичайно, з миттєвим дипольним моментом р(t)]. Однак при великому віддаленні у формулі для поля повинен з'явитися додатковий доданок, який змінюється як 1/r і залежить від того, яке прискорення заряду в напрямку, поперечному до променя зору. Подивимося, чи вийде у нас цей результат.
Почнемо з обчислення векторного потенціала А за допомогою (2.16). Нехай густина зарядів у згустку є ρ(х, у, z) і весь він рухається весь час зі швидкістю v. Тоді густина струму j(х, у, z) дорівнює vρ(х, у, z). Зручно систему координат розташувати так, щоб вісь z була спрямована вздовж v; тоді геометрія нашої задачі зобразиться так, як показано на фіг. 21.2. Нас цікавить інтеграл
Зображення
Якщо розміри заряду-згустку насправді набагато менші, ніж r12, то r12 у знаменнику можна прирівняти до r (відстані від центру згустку) і винести r за знак інтеграла. Крім того, ми збираємося прирівняти і в чисельнику r12=r, хоча це і не зовсім вірно. А невірно це тому, що насправді, скажімо, належить брати j у верхній частині згустку зовсім не в той момент, коли в нижній, а трохи в інший час. Прирівнюючи r12=r у j(t—r12/c), ми обчислюємо густину струму для всього згустку в один і той самий час (t—r/c). Це наближення годиться лише тоді, коли швидкість v заряду набагато менша c. Ми, отже, ведемо розрахунок у нерелятивістському випадку. Після заміни j на ρv інтеграл (21.17) перетворюється на
Зображення
Оскільки швидкість усіх зарядів у згустку одна й та сама, цей інтеграл просто дорівнює v/r, помноженому на загальний заряд q. Але qv — це якраз ∂p/∂t (швидкість зміни дипольного моменту), тільки треба її, звичайно, визначати в більш ранній час (t—r/c). Запишемо цю величину так: р(t—r/c). Отже, ми отримуємо для векторного потенціала
Зображення
Ми дізналися, що струм у диполі, що змінюється, створює векторний потенціал у формі сферичних хвиль, джерело яких має силу р/4πε0с2.
Тепер із B=∇xA можна отримати магнітне поле. Оскільки р спрямований вздовж осі z, у А є тільки z-компонента; у роторі залишаються тільки дві ненульові похідні. Отже, Вx=дАz /ду і Вy=–дАz /dx. Поглянемо спершу на Вx:
Тепер із B=∇xA можна отримати магнітне поле. Оскільки р спрямований вздовж осі z, у А є тільки z-компонента; у роторі залишаються тільки дві ненульові похідні. Отже, Вx=дАz /ду і Вy=–дАz /dx. Поглянемо спершу на Вx:
Зображення
Щоб продиференціювати, згадаємо, що r=√x2+y2+.z2, так що
Зображення
Але ми пам'ятаємо, що дr/ду=у/r; отже, перший доданок дасть
Зображення
що спадає як 1/r2, тобто як поле статичного диполя (бо в даному напрямку у/r стале).
Другий доданок у (21.20) приводить до нового ефекту. Якщо провести в ньому диференціювання, то вийде
Другий доданок у (21.20) приводить до нового ефекту. Якщо провести в ньому диференціювання, то вийде
Зображення
де p — просто друга похідна p за t. Ось цей-то доданок, що виходить від диференціювання чисельника, і відповідає за випромінювання. По-перше, він описує поле, яке спадає на відстані як 1/r, по-друге, залежить від прискорення заряду. Тепер вам має бути ясно, як ми збираємося отримати формулу типу (21.1′), що описує світлове випромінювання.
Це явище настільки цікаве і важливе, що варто трохи докладніше розібратися в тому, звідки береться цей «радіаційний» доданок. Ми починали з виразу (21.18), що залежить від r як 1/r і тим самим схожий на кулонів потенціал (якщо не звертати уваги на запізнілий множник у чисельнику). Чому ж коли ми, бажаючи отримати поле, диференціюємо за просторовими координатами, то не отримуємо просто поля виду 1/r2 (звичайно, з відповідною часовою затримкою)?
А ось чому. Уявіть, що диполь приведений у коливний рух вгору і вниз. Тоді
Це явище настільки цікаве і важливе, що варто трохи докладніше розібратися в тому, звідки береться цей «радіаційний» доданок. Ми починали з виразу (21.18), що залежить від r як 1/r і тим самим схожий на кулонів потенціал (якщо не звертати уваги на запізнілий множник у чисельнику). Чому ж коли ми, бажаючи отримати поле, диференціюємо за просторовими координатами, то не отримуємо просто поля виду 1/r2 (звичайно, з відповідною часовою затримкою)?
А ось чому. Уявіть, що диполь приведений у коливний рух вгору і вниз. Тоді
Зображення
Якщо накреслити графік залежності Аr від r у кожен даний момент, то вийде крива, показана на фіг. 21.3. Амплітуда в піках спадає як 1/r, але, крім того, ще є просторові коливання, які обмежені огинаючою виду 1/r. Просторові похідні у формулі пропорційні нахилу кривої. З фіг. 21.3 видно, що трапляються набагато крутіші нахили, ніж нахил самої кривої 1/r. Очевидно, що за даної частоти нахили в піках пропорційні амплітуді хвилі, що змінюється як 1/r. Тим самим пояснюється ступінь спадання радіаційного доданка з відстанню.Усе це виходить від того, що часові варіації в джерелі перетворюються на просторові варіації, коли хвилі починають розбігатися убік, магнітні ж поля залежать від просторових похідних потенціала.
Тепер повернемося назад і закінчимо наші розрахунки магнітного поля. Для Вx ми отримали (21.21) і (21.22). Тому
Зображення
За допомогою точно таких самих викладок ми прийдемо до
Зображення
І все це можна об'єднати в одну красиву векторну формулу:
Зображення
А тепер погляньте на неї. Насамперед на великих віддаленнях (коли r велике) слід брати до уваги тільки р. Напрямок В дається вектором рХr, перпендикулярним і до радіуса r, і до прискорення (фіг. 21.4). Все узгоджується з тим, що вийшло б із формули (21.1′).Тепер подивіться (до цього ми не звикли) на те, що відбувається поблизу заряду. У розд. 14, § 7 (вип. 5) ми вивели закон Біо і Савара для магнітного поля елемента струму. Ми знайшли, що елемент струму jdV вносить у магнітне поле такий внесок:
Зображення
Ви бачите, що ця формула на вигляд дуже схожа на перший доданок у (21.23), якщо тільки згадати, що р — це струм. Але різниця все ж є. У (21.23) струм треба підраховувати в момент (t—r/c), а в (21.24) цього немає. Насправді, однак, (21.24) для малих r все ще годиться, бо другий доданок у (21.23) прагне знищити ефект запізнення з першого доданка. Разом обидва вони приводять при малих r до результату, дуже близького до (21.24).
У цьому можна переконатися таким чином. Коли r мале, (t—r/c) не дуже відрізняється від t, і в (21.23) дужки можна розкласти в ряд Тейлора. Перший член розкладу дає
У цьому можна переконатися таким чином. Коли r мале, (t—r/c) не дуже відрізняється від t, і в (21.23) дужки можна розкласти в ряд Тейлора. Перший член розкладу дає
Зображення
і в тому ж порядку за r/c
Зображення
Якщо їх скласти, члени з р знищаться і зліва залишиться незапізнілий струм р, тобто p(t) плюс члени порядку (r/с)2 і вище [наприклад, 1/2(r/с)2Р]. Ці члени за досить малих r (малих настільки, що за час r/c струм р помітно не змінюється) будуть дуже малі.
Отже, (21.23) приводить до полів, дуже схожих на ті, які дає теорія з миттєвою дією, набагато більш схожим на них, ніж на поля теорії з миттєвою дією і з затримкою; ефекти затримки першого порядку компенсуються другим членом. Статичні формули дуже точні, набагато точніші, ніж вам могло б здатися. Звичайно, компенсація відчувається тільки поблизу заряду. Для далеких точок ці поправки вже нічого не рятують, тому що часове запізнення приводить до дуже великих ефектів і врешті-решт до важливого члена 1/r — до ефекту випромінювання.
Перед нами все ще стоїть задача розрахунку електричного поля і доведення того, що воно збігається з (21.1′). Правда, вже відчувається, що на великих відстанях відповідь вийде така, як треба. Ми знаємо, що вдалині від джерел, де виникає хвиля, що поширюється, Е перпендикулярне до В (і до r), як на фіг. 21.4, і що сВ=Е. Значить, Е пропорційне прискоренню р, як і передбачалося формулою (21.1′).
Щоб отримати електричне поле на всіх можливих відстанях, потрібно знайти електростатичний потенціал. Коли ми підраховували інтеграл струмів для А, бажаючи отримати (21.18), то зробили наближення: ми знехтували малопомітною зміною r у члені із запізненням. Для електростатичного потенціала цього робити не можна, бо тоді у нас вийшло б 1/r, помножене на інтеграл від густини заряду, тобто на константу. Таке наближення надто грубе. Треба звернутися до вищих порядків. І замість того, щоб плутатися в цих прямих розрахунках вищих наближень, можна вчинити інакше — визначити скалярний потенціал з рівності (21.6), використовуючи вже знайдене значення векторного потенціала. Дивергенція А в цьому випадку просто дорівнює ∂Az /∂z, оскільки Аx і Аy тотожно дорівнюють нулю. Диференціюючи точно так само, як це робилося вище при обчисленні В, отримуємо
Отже, (21.23) приводить до полів, дуже схожих на ті, які дає теорія з миттєвою дією, набагато більш схожим на них, ніж на поля теорії з миттєвою дією і з затримкою; ефекти затримки першого порядку компенсуються другим членом. Статичні формули дуже точні, набагато точніші, ніж вам могло б здатися. Звичайно, компенсація відчувається тільки поблизу заряду. Для далеких точок ці поправки вже нічого не рятують, тому що часове запізнення приводить до дуже великих ефектів і врешті-решт до важливого члена 1/r — до ефекту випромінювання.
Перед нами все ще стоїть задача розрахунку електричного поля і доведення того, що воно збігається з (21.1′). Правда, вже відчувається, що на великих відстанях відповідь вийде така, як треба. Ми знаємо, що вдалині від джерел, де виникає хвиля, що поширюється, Е перпендикулярне до В (і до r), як на фіг. 21.4, і що сВ=Е. Значить, Е пропорційне прискоренню р, як і передбачалося формулою (21.1′).
Щоб отримати електричне поле на всіх можливих відстанях, потрібно знайти електростатичний потенціал. Коли ми підраховували інтеграл струмів для А, бажаючи отримати (21.18), то зробили наближення: ми знехтували малопомітною зміною r у члені із запізненням. Для електростатичного потенціала цього робити не можна, бо тоді у нас вийшло б 1/r, помножене на інтеграл від густини заряду, тобто на константу. Таке наближення надто грубе. Треба звернутися до вищих порядків. І замість того, щоб плутатися в цих прямих розрахунках вищих наближень, можна вчинити інакше — визначити скалярний потенціал з рівності (21.6), використовуючи вже знайдене значення векторного потенціала. Дивергенція А в цьому випадку просто дорівнює ∂Az /∂z, оскільки Аx і Аy тотожно дорівнюють нулю. Диференціюючи точно так само, як це робилося вище при обчисленні В, отримуємо
Зображення
Або у векторних позначеннях
Зображення
З рівності (21.6) отримується рівняння для φ:
Зображення
Інтегрування за t просто прибирає над усіма p по одній точці:
Зображення
(Стала інтегрування відповідала б якомусь накладеному статичному полю, яке, звичайно, може існувати, але ми вважаємо, що у вибраного нами коливного диполя статичного поля немає.) Тепер ми можемо з
Зображення
знайти електричне поле Е. Після стомливих (хоч і прямих) викладок [при цьому потрібно пам'ятати, що p(t—r/c) і його похідні за часом залежать від х, у і z через запізнення r/c] ми отримуємо
Зображення
Це виглядає досить складно, але інтерпретується просто. Вектор р* — це дипольний момент із запізненням і з «поправкою» на запізнення, так що два члени з р* у (21.26) при малих r дають просто статичне поле диполя [див. розд. 6 (вип. 5), вираз (6.14)]. Коли r велике, то член з р переважає над рештою, і електричне поле пропорційне прискоренню зарядів у напрямку впоперек r і само спрямоване вздовж проекції р на площину, перпендикулярну до r.
Цей результат узгоджується з тим, що ми отримали б, застосовуючи формулу (21.1′). Звичайно, ця формула — більш загальна; вона годиться для будь-якого руху, а не тільки для малопомітних рухів, для яких запізнення r/c у межах усього джерела можна вважати сталим [як (21.26)]. У всякому разі, тепер ми укріпили стовпами весь наш попередній виклад властивостей світла, за винятком лише деяких питань з розд. 34 (вип. 3), які пов'язані з останньою частиною виразу (21.26). Ми можемо тепер перейти до отримання поля зарядів, що швидко рухаються. Це приведе нас до релятивістських ефектів [розд. 34 (вип. 3)].
Цей результат узгоджується з тим, що ми отримали б, застосовуючи формулу (21.1′). Звичайно, ця формула — більш загальна; вона годиться для будь-якого руху, а не тільки для малопомітних рухів, для яких запізнення r/c у межах усього джерела можна вважати сталим [як (21.26)]. У всякому разі, тепер ми укріпили стовпами весь наш попередній виклад властивостей світла, за винятком лише деяких питань з розд. 34 (вип. 3), які пов'язані з останньою частиною виразу (21.26). Ми можемо тепер перейти до отримання поля зарядів, що швидко рухаються. Це приведе нас до релятивістських ефектів [розд. 34 (вип. 3)].