Подивимося тепер, що дає ця модель для конденсатора з діелектриком. Розглянемо спочатку лист матеріалу, в якому на одиницю об'єму припадає дипольний момент Р. Чи вийде в результаті в середньому якась густина зарядів? Ні, якщо Р сталий.
Якщо позитивні й негативні заряди, зміщені відносно один одного, мають ту саму середню густину, то сам факт їхнього зміщення не призводить до появи сумарного заряду всередині об'єму. З іншого боку, якби Р в одному місці був більшим, а в іншому меншим, то це означало б, що в деякі області потрапило більше зарядів, ніж звідти вийшло; тоді ми могли б отримати об'ємну густину заряду. У випадку плоского конденсатора припустімо, що Р — величина стала, тому достатньо буде лише подивитися, що відбувається на поверхнях. На одній поверхні негативні заряди (електрони) ефективно висунулися на відстань δ, а на іншій поверхні вони зсунулися всередину, залишивши позитивні заряди зовні на ефективній відстані δ. Виникає, як показано на фіг. 10.5, поверхнева густина зарядів, яку ми будемо називати поляризаційним зарядом.
Цей заряд можна підрахувати таким чином. Якщо площа пластинки дорівнює A, то число електронів, яке опиниться на поверхні, є добутком A і N (числа електронів на одиницю об'єму), а також зміщення δ, яке, як ми припускаємо, спрямоване перпендикулярно до поверхні. Повний заряд вийде множенням на заряд електрона qe. Щоб знайти поверхневу густину поляризаційних зарядів, що індукується на поверхні, поділимо на A. Величина поверхневої густини зарядів дорівнює
Якщо позитивні й негативні заряди, зміщені відносно один одного, мають ту саму середню густину, то сам факт їхнього зміщення не призводить до появи сумарного заряду всередині об'єму. З іншого боку, якби Р в одному місці був більшим, а в іншому меншим, то це означало б, що в деякі області потрапило більше зарядів, ніж звідти вийшло; тоді ми могли б отримати об'ємну густину заряду. У випадку плоского конденсатора припустімо, що Р — величина стала, тому достатньо буде лише подивитися, що відбувається на поверхнях. На одній поверхні негативні заряди (електрони) ефективно висунулися на відстань δ, а на іншій поверхні вони зсунулися всередину, залишивши позитивні заряди зовні на ефективній відстані δ. Виникає, як показано на фіг. 10.5, поверхнева густина зарядів, яку ми будемо називати поляризаційним зарядом.Цей заряд можна підрахувати таким чином. Якщо площа пластинки дорівнює A, то число електронів, яке опиниться на поверхні, є добутком A і N (числа електронів на одиницю об'єму), а також зміщення δ, яке, як ми припускаємо, спрямоване перпендикулярно до поверхні. Повний заряд вийде множенням на заряд електрона qe. Щоб знайти поверхневу густину поляризаційних зарядів, що індукується на поверхні, поділимо на A. Величина поверхневої густини зарядів дорівнює
Зображення
Але вона дорівнює якраз довжині P вектора поляризації Р [формула (10.4)]:
Зображення
Поверхнева густина зарядів дорівнює поляризації всередині матеріалу. Поверхневий заряд, звичайно, на одній поверхні позитивний, а на іншій негативний.
Припустімо тепер, що наша пластинка слугує діелектриком у плоскому конденсаторі. Пластини конденсатора також мають поверхневий заряд (який ми позначимо σвільн, тому що заряди в провіднику можуть рухатися «вільно» куди завгодно). Звичайно, це той самий заряд, який ми повідомили конденсатору під час його зарядки. Слід підкреслити, що σпол існує лише завдяки σвільн. Якщо, розрядивши конденсатор, прибрати σвільн, то σпол також зникне, але він не стече по дроту, яким розряджають конденсатор, а піде назад усередину матеріалу, за рахунок релаксації поляризації в діелектрику.
Тепер ми можемо застосувати теорему Гаусса до поверхні S, зображеної на фіг. 10.1. Електричне поле E в діелектрику дорівнює повній поверхневій густині зарядів, поділеній на ε0. Очевидно, що σпол і σвільн мають різні знаки, так що
Припустімо тепер, що наша пластинка слугує діелектриком у плоскому конденсаторі. Пластини конденсатора також мають поверхневий заряд (який ми позначимо σвільн, тому що заряди в провіднику можуть рухатися «вільно» куди завгодно). Звичайно, це той самий заряд, який ми повідомили конденсатору під час його зарядки. Слід підкреслити, що σпол існує лише завдяки σвільн. Якщо, розрядивши конденсатор, прибрати σвільн, то σпол також зникне, але він не стече по дроту, яким розряджають конденсатор, а піде назад усередину матеріалу, за рахунок релаксації поляризації в діелектрику.
Тепер ми можемо застосувати теорему Гаусса до поверхні S, зображеної на фіг. 10.1. Електричне поле E в діелектрику дорівнює повній поверхневій густині зарядів, поділеній на ε0. Очевидно, що σпол і σвільн мають різні знаки, так що
Зображення
Зауважте, що поле Е0 між металевою пластиною і поверхнею діелектрика більше за поле E; воно відповідає лише σвільн. Але нас тут цікавить поле всередині діелектрика, яке займає майже весь об'єм, якщо діелектрик заповнює майже весь проміжок між пластинами. Використовуючи формулу (10.5), можна написати
Зображення
З цього рівняння ми не можемо визначити електричне поле, поки не дізнаємося, чому дорівнює Р. Тут ми, однак, припускаємо, що Р залежить від Е і, більш того, пропорційно Е. Ця пропорційність зазвичай записується у вигляді
Зображення
Стала X (грецька «хі») називається діелектричною сприйнятливістю діелектрика.
Тоді вираз (10.7) набуває вигляду
Тоді вираз (10.7) набуває вигляду
Зображення
звідки ми отримуємо множник 1/(1+χ), що показує, у скільки разів зменшилося поле.
Напруга між пластинами є інтегралом від електричного поля. Оскільки поле однорідне, інтеграл зводиться просто до добутку E і відстані між пластинами d. Ми отримуємо
Напруга між пластинами є інтегралом від електричного поля. Оскільки поле однорідне, інтеграл зводиться просто до добутку E і відстані між пластинами d. Ми отримуємо
Зображення
Повний заряд конденсатора є σвільн A, так що ємність, визначувана формулою (10.2), виявляється рівною
Зображення
Ми пояснили явище, яке спостерігалося на досліді. Якщо заповнити плоский конденсатор діелектриком, ємність зростає на множник .
Зображення
який характеризує властивості даного матеріалу. Наше пояснення залишиться, звичайно, неповним, поки ми не пояснимо (а це ми зробимо пізніше), як виникає атомна поляризація.
Звернімося тепер до трохи складнішого випадку — коли поляризація Р не всюди однакова. Ми вже говорили, що якщо поляризація непостійна, то взагалі може виникнути об'ємна густина заряду, тому що з одного боку в маленький елемент об'єму може увійти більше зарядів, ніж вийде з іншого. Як визначити, скільки зарядів втрачається або набувається в маленькому об'ємі?
Підрахуємо спочатку, скільки зарядів проходить через уявну площину, коли матеріал поляризується. Кількість заряду, що проходить через поверхню, є просто P, помножене на площу поверхні, якщо поляризація спрямована по нормалі до поверхні. Зрозуміло, що якщо поляризація дотична до поверхні, то через неї не пройде жодного заряду
Продовжуючи попередні міркування, легко зрозуміти, що кількість заряду, яка пройшла через будь-який елемент поверхні, пропорційна компоненті Р, перпендикулярній до поверхні. Порівняймо фіг. 10.6 і 10.5. Ми бачимо, що рівняння (10.5) у загальному випадку має бути записане так:
Звернімося тепер до трохи складнішого випадку — коли поляризація Р не всюди однакова. Ми вже говорили, що якщо поляризація непостійна, то взагалі може виникнути об'ємна густина заряду, тому що з одного боку в маленький елемент об'єму може увійти більше зарядів, ніж вийде з іншого. Як визначити, скільки зарядів втрачається або набувається в маленькому об'ємі?
Підрахуємо спочатку, скільки зарядів проходить через уявну площину, коли матеріал поляризується. Кількість заряду, що проходить через поверхню, є просто P, помножене на площу поверхні, якщо поляризація спрямована по нормалі до поверхні. Зрозуміло, що якщо поляризація дотична до поверхні, то через неї не пройде жодного заряду
Продовжуючи попередні міркування, легко зрозуміти, що кількість заряду, яка пройшла через будь-який елемент поверхні, пропорційна компоненті Р, перпендикулярній до поверхні. Порівняймо фіг. 10.6 і 10.5. Ми бачимо, що рівняння (10.5) у загальному випадку має бути записане так:Зображення
Якщо ми маємо на увазі уявний елемент поверхні всередині діелектрика, то формула (10.12) дає заряд, який пройшов через поверхню, але не приводить до результуючого поверхневого заряду, тому що виникають рівні й протилежно спрямовані внески від діелектрика по обидва боки поверхні.
Однак зміщення зарядів може призвести до появи об'ємної густини зарядів. Повний заряд, виштовхнутий з об'єму V за рахунок поляризації, є інтегралом від зовнішньої нормальної складової Р по поверхні S, що охоплює об'єм (фіг. 10.7). Такий самий надлишок зарядів протилежного знака залишається всередині. Позначаючи сумарний заряд усередині V через ΔQпол, запишемо
Однак зміщення зарядів може призвести до появи об'ємної густини зарядів. Повний заряд, виштовхнутий з об'єму V за рахунок поляризації, є інтегралом від зовнішньої нормальної складової Р по поверхні S, що охоплює об'єм (фіг. 10.7). Такий самий надлишок зарядів протилежного знака залишається всередині. Позначаючи сумарний заряд усередині V через ΔQпол, запишемоЗображення
Ми можемо віднести ΔQпол за рахунок об'ємного розподілу заряду з густиною ρпол, так що
Зображення
Комбінуючи обидва рівняння, отримуємо
Зображення
Ми отримали різновид теореми Гаусса, що пов'язує густину заряду поляризованого матеріалу з вектором поляризації Р. Ми бачимо, що вона узгоджується з результатом, отриманим для поверхневого поляризаційного заряду або ж для діелектрика в плоскому конденсаторі. Рівняння (10.15) з гаусовою поверхнею S, зображеною на фіг. 10.1, дає в правій частині інтеграл по поверхні, що дорівнює P ΔA, а в лівій частині заряд усередині об'єму виявляється σпол ΔA, так що ми знову отримуємо σ = P.
Точно так само, як ми робили у випадку закону Гаусса для електростатики, ми можемо перейти в рівнянні (10.15) до диференціальної форми, користуючись математичною теоремою Гаусса:
Точно так само, як ми робили у випадку закону Гаусса для електростатики, ми можемо перейти в рівнянні (10.15) до диференціальної форми, користуючись математичною теоремою Гаусса:
Зображення
Ми отримуємо
Зображення
Якщо поляризація неоднорідна, її дивергенція визначає результуючу густину зарядів, що з'являється в матеріалі. Підкреслимо, що це цілком справжня густина зарядів; ми називаємо її «поляризаційним зарядом» лише для того, щоб пам'ятати, звідки вона взялася.