Поля і сили за наявності діелектриків

Ми доведемо зараз низку доволі загальних теорем електростатики для тих випадків, коли є діелектрики. Ми вже бачили, що ємність плоского конденсатора при заповненні його діелектриком збільшується в певне число разів. Зараз можна показати, що це вірно для ємності будь-якої форми, якщо вся область навколо двох провідників заповнена однорідним лінійним діелектриком. За відсутності діелектрика рівняння, які потрібно розв'язати, такі:

Коли є діелектрик, перше з цих рівнянь змінюється,  і ми отримуємо

Далі, оскільки ми вважаємо х всюди однаковою, останні два рівняння можна записати у вигляді

Отже, для хЕ виходять такі самі рівняння, як для Е₀, і тоді вони мають розв'язок хЕ = Е₀. Іншими словами, поле всюди у х разів менше, ніж за відсутності діелектрика. Оскільки різниця потенціалів є лінійним інтегралом від поля, вона зменшиться в стільки ж разів. А оскільки заряд на електродах конденсатора в обох випадках той самий, то рівняння (10.2) говорить, що ємність за наявності всюди однорідного діелектрика збільшується в х разів.
 
Поставимо тепер запитання, як взаємодіють два заряджених провідники в діелектрику. Розглянемо рідкий діелектрик, всюди однорідний. Ми вже бачили раніше, що один зі способів знайти силу — це продиференціювати енергію за відповідною відстанню. Якщо заряди на провідниках рівні й протилежні за знаком, то енергія U = Q²/2C, де C — їхня ємність. За допомогою принципу віртуальної роботи будь-яка компонента сили отримується деяким диференціюванням; наприклад,

Оскільки діелектрик збільшує ємність у х разів, усі сили зменшаться у стільки ж разів.
 
Однак усе це не так просто. Сказане справедливе, тільки якщо діелектрик рідкий. Будь-яке переміщення провідників, оточених твердим діелектриком, змінює умови механічних напружень у діелектрику і його електричні властивості, а також дещо змінює механічну енергію діелектрика. Рух провідників у рідині не змінює властивостей рідини. Рідина перетікає в інше місце, але її електричні властивості залишаються незмінними.
 
У багатьох старих книгах з електрики виклад починається з «основного» закону, за яким сила, що діє між двома зарядами,   є

а цей погляд абсолютно неприйнятний. По-перше, це не завжди правильно; це справедливо лише у світі, заповненому рідиною; по-друге, так виходить лише для сталого значення х, що для більшості реальних матеріалів виконується наближено.
 
Значно легше починати із завжди справедливого (для нерухомих зарядів) закону Кулона для зарядів у вакуумі.
 
Що ж відбувається із зарядами у твердому тілі? На це важко відповісти, тому що навіть не зовсім зрозуміло, про що йдеться. Якщо ви вносите заряди всередину твердого діелектрика, то виникають усілякі тиски і напруження. Ви не можете вважати роботу віртуальною, не включивши сюди також механічну енергію, необхідну для стискання тіла, а відрізнити однозначним чином електричні сили від механічних, що виникають за рахунок самого матеріалу, взагалі кажучи, дуже важко. На щастя, нікому насправді не буває потрібно знати відповідь на поставлене питання. Іноді потрібно знати величину натягів, які можуть виникнути у твердому тілі, а це можна обчислити. Але результати тут виявляються значно складнішими, ніж проста відповідь, отримана нами для рідин.
 
Несподівано складною виявляється наступна проблема в теорії діелектриків: чому заряджене тіло підбирає маленькі шматочки діелектрика? Якщо ви сухого дня розчісуєтеся, то ваш гребінець потім легко підбиратиме маленькі шматочки паперу. Якщо ви не замислилися над цим питанням, то, ймовірно, вважатимете, що на гребінці заряди одного знака, а на папері протилежного. Але папір адже був спочатку електрично нейтральним. У нього немає сумарного заряду, а він все ж притягується. Щоправда, іноді папірці підстрибують до гребінця, а потім відлітають, одразу ж відштовхуючись від нього. Причина, звичайно, полягає в тому, що, торкнувшись гребінця, папір зняв з нього трохи негативних зарядів, а однойменні заряди відштовхуються. Але це все ще не дає відповіді на початкове питання. Насамперед, чому папірці взагалі притягуються  до  гребінця?
 
Відповідь полягає в поляризації діелектрика, поміщеного в електричне поле. Виникають поляризаційні заряди обох знаків, притягувані й відштовхувані гребінцем. Однак у результаті виходить притягання, тому що поле поблизу гребінця сильніше, ніж далеко від нього, адже гребінець не безмежний. Його заряд локалізований. Нейтральний шматочок паперу не притягнеться до жодної з паралельних пластин конденсатора. Зміна поля становить суттєву частину механізму притягання.
Як показано на фіг. 10.8, діелектрик завжди прагне з області слабкого поля в область, де поле сильніше. Насправді можна показати, що сила, яка діє на малі об'єкти, пропорційна градієнту квадрата електричного поля. Чому вона залежить від квадрата поля? Тому що індуковані поляризаційні заряди пропорційні полям, а для даних зарядів сили пропорційні полю. Однак, як ми вже зазначали, результуюча сила виникає, лише якщо квадрат поля змінюється від точки до точки. Отже, сила пропорційна градієнту квадрата поля. Константа пропорційності включає, крім усього іншого, ще діелектричну проникність даного тіла і залежить також від розмірів і форми тіла.
Є ще одна близька задача, в якій сила, що діє на діелектрик, може бути знайдена точно. Якщо ми візьмемо плоский конденсатор, в якому плитка діелектрика засунута лише частково (фіг. 10.9), то виникне сила, що втягує діелектрик усередину. Провести детальне дослідження сили дуже важко; воно пов'язане з неоднорідностями поля поблизу кінців діелектрика і пластин. Однак якщо нас не цікавлять деталі, а ми просто використовуємо закон збереження енергії, то силу легко обчислити. Ми можемо визначити силу за допомогою раніше виведеної формули. Рівняння (10.28) еквівалентне такому:

Нам залишилося тільки знайти, як змінюється ємність залежно від положення плитки діелектрика.
 
Нехай повна довжина пластин є L, ширина їх дорівнює W, відстань між пластинами і товщина діелектрика дорівнює d, а відстань, на яку засунуто діелектрик, є x. Ємність є відношенням повного вільного заряду на пластинах до різниці потенціалів між пластинами. Вище ми бачили, що за даного потенціалу V поверхнева густина вільних зарядів дорівнює xε₀V/d. Отже, повний заряд пластин   дорівнює

звідки ми знаходимо ємність

За допомогою (10.30) отримуємо

Але користі від цього виразу не дуже багато, хіба що вам знадобиться визначити силу саме в таких умовах. Ми хотіли лише показати, що можна часом уникнути жахливих ускладнень при визначенні сил, що діють на діелектрики, якщо користуватися енергією, як це було в даному  випадку.
 
У нашому викладі теорії діелектриків ми мали справу тільки з електричними явищами, приймаючи як факт, що поляризація речовини пропорційна електричному полю. Чому виникає така пропорційність — питання, що становить, мабуть, ще більший інтерес для фізики. Варто нам зрозуміти механізм виникнення діелектричної проникності з атомного погляду, як ми зможемо використовувати вимірювання діелектричної проникності в мінливих умовах для отримання докладних відомостей про будову атомів і молекул. Ці питання будуть частково викладені в наступному розділі.