Рівняння електростатики для діелектриків

Давайте тепер пов'яжемо отримані нами результати з тим, що ми вже дізналися в електростатиці. Основне рівняння має вигляд

де ρ — густина всіх електричних зарядів. Оскільки стежити за поляризаційними зарядами непросто, зручно розбити ρ на дві частини. Позначимо знову через ρ_пол заряди, що з'являються за рахунок неоднорідної поляризації, а решту частини назвемо ρ_вільн. Зазвичай ρ_вільн означає заряд, повідомлений провідникам або розподілений відомим чином у просторі. У цьому випадку рівняння (10.17)  набуває вигляду

Рівняння для ротора від E, звичайно, не змінюється:

Підставляючи Р з рівняння (10.8), отримуємо простіше рівняння:

Це і є рівняння електростатики за наявності діелектриків. Вони, звичайно, не дають нічого нового, але мають вигляд, зручніший для розрахунків у тих випадках, коли ρ_вільн відоме, а поляризація Р пропорційна E.
 
Зауважте, що ми не винесли «константу» діелектричної проникності х за знак дивергенції. Це тому, що вона може бути неоднаковою всюди. Якщо вона всюди однакова, то її можна винести як множник, і рівняння стануть точнісінько звичайними рівняннями електростатики, де тільки ρ_вільн потрібно поділити на х. У написаній нами формі рівняння годяться в загальному випадку, коли в різних місцях поля розташовані різні діелектрики. У таких випадках розв'язати рівняння іноді буває дуже важко.
 
Тут слід відзначити один момент, що має історичне значення. На зорі народження електрики атомний механізм поляризації ще не був відомий, і про існування ρ_пол не знали. Заряд ρ_вільн вважався рівним усій густині зарядів. Щоб надати рівнянням Максвелла простого вигляду, вводили новий вектор D як лінійну комбінацію Е і Р:

У результаті рівняння (10.18) і (10.19) записувалися в дуже простому вигляді:

Чи можна їх розв'язати? Тільки коли задано третє рівняння, що пов'язує D і Е. Якщо справедливе рівняння (10.8), то цей зв'язок є

Останнє рівняння зазвичай записується так:

де ε — ще одна стала, що описує діелектричні властивості матеріалів. Її також називають «проникністю». (Тепер ви розумієте, чому в наших рівняннях  з'явилося ε₀, це «проникність порожнього простору».)
 
Очевидно,

Зараз ми розглядаємо ці речі вже з іншого погляду, а саме що у вакуумі завжди є найпростіші рівняння, і якщо в кожному випадку врахувати всі заряди, якою б не була причина їхнього виникнення, то вони завжди справедливі. Виділяючи частину зарядів або з міркувань зручності, або тому, що ми не хочемо вникати в деталі процесу, ми завжди можемо за бажання написати рівняння в будь-якій зручній для нас формі.
 
Зробимо ще одне зауваження. Рівняння D = εЕ являє собою спробу описати властивості речовини. Але речовина винятково складна за своєю природою, і подібне рівняння насправді неправильне. Так, якщо Е стає дуже великим, D перестає бути пропорційним Е. У деяких речовинах пропорційність порушується вже за достатньо слабких полів. Крім того, «константа» пропорційності може залежати від того, наскільки швидко Е змінюється з часом. Отже, рівняння такого типу є чимось на кшталт наближеного рівняння на кшталт закону Гука. Воно не може бути глибоким, фундаментальним рівнянням. З іншого боку, наші основні рівняння для Е (10.17) і (10.19) виражають найповніше і найглибше розуміння електростатики.