Енергія в електростатичному полі

Розглянемо тепер інші способи підрахунку електростатичної енергії. Усі вони можуть бути отримані з основного співвідношення (8.3) підсумовуванням (по всіх парах) взаємних енергій кожної пари зарядів. Насамперед ми хочемо написати вираз для енергії розподілу зарядів. Як завжди, вважаємо, що кожен елемент об'єму dV містить у собі елемент заряду ρdV. Тоді рівняння (8.3) запишеться так:

Зверніть увагу на появу множника ¹/₂. Він виник через те, що в подвійному інтегралі по dV₁ і по dV₂ кожна пара елементів заряду рахувалася двічі. (Не існує зручного запису інтеграла, у якому кожна пара рахувалася б лише по одному разу.) Далі зауважте, що інтеграл по dV₂ в (8.27) — це просто потенціал у точці (1), тобто

так що (8.27) можна записати у вигляді

А оскільки точка (2) при цьому випала, то можна написати просто

Це рівняння можна витлумачити так. Потенціальна енергія заряду ρdV дорівнює добутку цього заряду на потенціал у тій самій точці. Уся енергія тому дорівнює інтегралу від φρdV. Але, крім цього, є множник ¹/₂. Він усе ще потрібен, тому що енергії рахуються двічі. Взаємна енергія двох зарядів дорівнює заряду одного з них на потенціал іншого в цій точці. Або заряду іншого на потенціал від першого в другій точці. Так що для двох точкових зарядів можна написати

Зверніть увагу, що це саме можна написати і так:

Інтеграл у (8.28) відповідає складанню обох доданків у дужках виразу (8.29). Ось навіщо потрібен множник ¹/₂.
Цікаве й таке питання: де розміщується електростатична енергія? Правда, можна у відповідь запитати: а хіба не однаково? Чи є сенс у такому питанні? Якщо є пара взаємодіючих зарядів, то їхнє поєднання має якусь енергію. Невже потрібно неодмінно уточнювати, що енергія зосереджена на цьому заряді, або на тому, або на обох одразу, або між ними? Усі ці питання позбавлені сенсу, тому що ми знаємо, що насправді зберігається лише повна, сумарна енергія. Уявлення про те, що енергія зосереджена десь, не таке вже й необхідне.
Ну а все ж припустімо, що в тому, що енергія завжди зосереджена в якомусь визначеному місці (подібно до теплової енергії), справді є сенс. Тоді ми могли б наш принцип збереження енергії розширити, поєднавши його з ідеєю про те, що якщо в якомусь об'ємі енергія змінюється, то цю зміну можна врахувати, спостерігаючи приплив або відплив енергії з об'єму. Ви ж розумієте, що наше первісне твердження про збереження енергії, як і раніше, чудово виконуватиметься, якщо якась енергія зникне в одному місці й виникне десь далеко в іншому, а в проміжку між цими місцями нічого не станеться (нічого — це означає, що не станеться жодних явищ особливого роду). Тому ми можемо перейти тепер до розширення наших уявлень про збереження енергії. Назвімо це розширення принципом локального (місцевого) збереження енергії. Такий принцип проголошував би, що енергія всередині будь-якого даного об'єму змінюється лише на кількість, що дорівнює припливу (або спаду) енергії в об'єм (або з нього). І справді, таке локальне збереження енергії цілком можливе. Якщо це так, то в нашому розпорядженні буде значно детальніший закон, ніж просте твердження про збереження повної енергії. І, як виявляється, у природі енергія дійсно зберігається локально, у кожному місці окремо, і можна написати формули, що показують, де енергія зосереджена і як вона перетікає з місця на місце.
Є й фізичний резон у вимозі, щоб ми були спроможні вказати, де саме укладена енергія. За теорією тяжіння всяка маса є джерелом гравітаційного притягання. А за законом Е=mc² ми також знаємо, що маса й енергія цілком рівноцінні одна одній. Отже, всяка енергія є джерелом сили тяжіння. І якби ми не могли дізнатися, де перебуває енергія, ми не могли б знати, де розташована маса. Ми не могли б сказати, де розміщуються джерела поля тяжіння. І теорія тяжіння стала б неповною.
Звісно, якщо ми обмежимося електростатикою, то способу дізнатися, де зосереджена енергія, у нас немає. Але повна система максвеллівських рівнянь електродинаміки забезпечить нас незрівнянно повнішою інформацією (хоча й тоді, строго кажучи, відповідь до кінця визначеною не стане). Докладніше ми це питання розглянемо пізніше. А зараз наведемо лише результат, що стосується окремого випадку електростатики. Енергія укладена в тому просторі, де є електричне поле. Це, схоже, цілком розумно, тому що відомо, що, прискорюючись, заряди випромінюють електричні поля. І коли світло чи радіохвилі поширюються від точки до точки, вони переносять із собою свою енергію. Але в цих хвилях немає зарядів. Тож енергію хотілося б розміщувати там, де є електромагнітне поле, а не там, де є заряди, що створюють це поле. Отже, ми описуємо енергію не мовою зарядів, а мовою полів, які вони створюють. Дійсно, ми можемо показати, що рівняння (8.28) чисельно збігається з

Цю формулу можна тлумачити, кажучи, що в тому місці простору, де присутнє електричне поле, зосереджена й енергія; густина її (кількість енергії в одиниці об'єму) дорівнює

Ця ідея проілюстрована на фіг. 8.8.
 
Щоб показати, що рівняння (8.30) узгоджується з нашими законами електростатики, почнемо з того, що введемо в рівняння (8.28) співвідношення між ρ і φ, отримане в розд. 6:

Отримаємо

Розписавши покомпонентно підінтегральний вираз, ми побачимо, що

А наш інтеграл енергій тоді дорівнює

За допомогою теореми Гаусса другий інтеграл можна перетворити на інтеграл по поверхні:

Цей інтеграл ми підрахуємо для того випадку, коли поверхня простягається до нескінченності (так що інтеграл по об'єму перетворюється на інтеграл по всьому простору), а всі заряди розташовані на скінченній відстані одне від одного. Найпростіше це зробити, взявши поверхню сфери величезного радіуса з центром на початку координат. Ми знаємо, що вдалині від усіх зарядів φ змінюється як 1/R, а ∇φ як 1/R². (І навіть швидше, якщо сумарний заряд нуль.) Площа ж поверхні великої сфери зростає тільки як R², так що інтеграл по поверхні спадає в міру зростання радіуса сфери як (1/R)(1/R²)R² = (1/R). Отже, якщо наше інтегрування захопить собою весь простір (R→∞), то поверхневий інтеграл перетвориться на нуль, і ми виявимо

Ми бачимо, що існує можливість подати енергію довільного розподілу зарядів у вигляді інтеграла від густини енергії, зосередженої в полі.