Електростатична енергія зарядів. Однорідна куля

Одне з найцікавіших і найкорисніших відкриттів у механіці —це закон збереження енергії. Знаючи формули для кінетичної та потенціальної енергій механічної  системи, ми здатні виявляти зв'язок між станами системи у два різні моменти часу, не заглиблюючись у подробиці того, що відбувається між цими моментами. Ми хочемо визначити тепер енергію електростатичних систем. В електриці збереження енергії виявиться настільки ж корисним для виявлення багатьох цікавих фактів.                    
 
Закон, за яким змінюється енергія при електростатичній  взаємодії,  дуже простий; насправді  ми його вже обговорювали. Нехай є заряди q₁ і q₂, розділені проміжком r₁₂. У цієї  системи є якась енергія, тому що знадобилася якась робота, щоб зблизити заряди. Ми підраховували роботу, яку виконано при зближенні двох зарядів з великої відстані; вона дорівнює

Ми знаємо з принципу накладання, що якщо зарядів багато, то повна сила, яка діє на будь-який із зарядів, дорівнює сумі сил, що діють з боку всіх інших зарядів. Звідси випливає, що повна енергія системи кількох зарядів є сумою членів, які виражають взаємодію кожної пари зарядів окремо. Якщо q_i і q_j — якісь два із зарядів, а відстань між ними r_ij (фіг. 8.1), то енергія саме цієї пари дорівнює

Повна електростатична енергія U є сумою енергій усіх можливих пар зарядів:

Якщо розподіл задається густиною заряду ρ, то суму в (8.3), звісно, потрібно замінити інтегралом.
 
Ми розповімо тут про енергію з двох поглядів. Перший — застосування поняття енергії до електростатичних задач; другий — різні способи оцінки величини енергії. Часом легше буває підрахувати виконану в якомусь випадку роботу, ніж оцінити величину суми в (8.3) або величину відповідного інтеграла. Для прикладу підрахуємо енергію, необхідну для того, щоб зібрати із зарядів однорідно заряджену кулю. Енергія тут є не що інше, як робота, яка витрачається на збирання зарядів із нескінченності.
 
Уявіть, що ми споруджуємо кулю, нашаровуючи послідовно один на одного сферичні шари нескінченно малої товщини. На кожній стадії процесу ми збираємо невелику кількість електрики й розміщуємо її тонким шаром від r до r + dr. Ми продовжуємо цей процес доти, доки не дійдемо до заданого радіуса a (фіг. 8.2). Якщо Q_r — це заряд кулі в той момент, коли куля доведена до радіуса r, то робота, необхідна для доставки на кулю заряду dQ, дорівнює

Якщо густина заряду всередині кулі дорівнює ρ, то заряд Q_r дорівнює

а заряд dQ дорівнює

Рівняння (8.4) перетворюється на

Повна енергія, необхідна для того, щоб накопичити повну кулю зарядів,  дорівнює інтегралу  по dU від r = 0 до r = а, тобто

а якщо ми хочемо виразити результат через повний заряд Q кулі, то

Енергія пропорційна квадрату повного заряду і обернено пропорційна радіусу. Можна подати (8.7) і так: середнє значення (1/r_ij) по всіх парах точок усередині кулі дорівнює  ⁶/₅а.