Енергія конденсатора. Сили, що діють на заряджені провідники

Розглянемо тепер енергію, необхідну для того, щоб зарядити конденсатор. Якщо заряд Q було знято з однієї обкладки конденсатора й перенесено на іншу, то між обкладками виникає різниця потенціалів, яка дорівнює

де C — ємність конденсатора. Скільки роботи витрачено на зарядку конденсатора? Діючи точнісінько так само, як ми діяли з кулею, уявімо, що конденсатор уже заряджений перенесенням заряду з однієї обкладки на іншу маленькими порціями dQ. Робота, необхідна для перенесення заряду dQ, дорівнює

Взявши V з (8.8), напишемо

Або, інтегруючи від Q = 0 до кінцевого заряду Q, отримуємо

Цю енергію можна також записати у вигляді

Пригадуючи, що ємність провідної сфери (стосовно нескінченності) дорівнює

ми негайно отримаємо з рівняння (8.9) енергію зарядженої сфери

Цей вираз, звісно, стосується також і енергії тонкого сферичного шару з повним зарядом Q; виходить ⁵/₆ енергії однорідно зарядженої кулі [рівняння (8.7)].
 
Подивимось, як застосовується поняття електростатичної енергії. Розглянемо два питання. Якою є сила, що діє між обкладками конденсатора? Який обертальний (крутний) момент навколо якоїсь осі відчуває заряджений провідник у присутності іншого провідника з протилежним зарядом? На такі питання легко відповісти, користуючись нашим виразом (8.9) для електростатичної енергії конденсатора і принципом віртуальної роботи (див. вип. 1, розд. 4, 13 і 14).
 
Застосуємо цей метод для визначення сили, що діє між двома обкладками плоского конденсатора. Якщо ми уявимо, що проміжок між пластинами розширився на невелику величину Δz, то тоді механічна робота, яка виконується ззовні для того, щоб розсунути обкладки, дорівнювала б

де F — сила, що діє між обкладками. Ця робота повинна дорівнювати зміні електростатичної енергії конденсатора, якщо  тільки  заряд  конденсатора не змінився.
 
Згідно з рівнянням (8.9), енергія конденсатора спочатку дорівнювала

Зміна енергії (якщо ми не допускаємо зміни величини заряду) тоді дорівнює

Прирівнюючи (8.12) і (8.13), отримуємо

що можна також записати у вигляді

Зрозуміло, ця сила тут виникає від притягання зарядів на обкладках; ми бачимо, однак, що турбуватися про те, як там вони розподілені, нам нема потреби; єдине, що нам потрібно,— це врахувати ємність C.
 
Легко зрозуміти, як узагальнити цю ідею на провідники довільної форми і на інші складові сили. Замінимо в рівнянні (8.14) F тією складовою, яка нас цікавить, а Δz — малим зміщенням у відповідному напрямку. Або якщо у нас є електрод, насаджений на якусь вісь, і ми хочемо знати обертальний момент τ, то запишемо віртуальну роботу у вигляді

де Δθ — невеликий кутовий поворот. Звісно, тепер Δ(1/С) має  бути  зміною  1/С,   що відповідає  повороту  на  Δθ. Таким способом ми можемо визначити обертальний момент, що діє на рухомі пластини змінного конденсатора, показаного на фіг. 8.3.
 
Повернемось  до  окремого  випадку  плоского  конденсатора;  ми можемо взяти формулу для ємності, виведену в розд. 6:

де A — площа кожної обкладки. Якщо проміжок збільшиться на Δz, то

Із (8.14) тоді випливає, що сила притягання між двома обкладками дорівнює

Погляньмо на рівняння (8.17) уважніше і подумаємо, чи не можна сказати, як виникає ця сила. Якщо заряд на одній з обкладок ми запишемо у вигляді

то (8.17) можна буде переписати так:

оскільки поле між пластинами дорівнює

Можна було одразу здогадатися, що сила, яка діє на одну з пластин, дорівнюватиме заряду Q цієї пластини, помноженому на поле, що діє на заряд. Але що дивує, так це множник ¹/₂. Річ у тім, що Е₀ —це не те поле, яке діє на заряди. Якщо уявити, що заряд на поверхні пластини займає якийсь тонкий шар (фіг. 8.4), то поле буде змінюватися від нуля на внутрішній межі шару до Е₀ у просторі зовні пластин. Середнє поле, що діє на поверхневі заряди, дорівнює E₀/2. Ось чому в (8.18) стоїть множник  ¹/₂.
Ви повинні звернути увагу на те, що, обчислюючи віртуальну роботу, ми припустили, що заряд конденсатора сталий, що конденсатор не був електрично зв'язаний з іншими предметами і повний заряд не міг змінюватися.
 
А тепер нехай ми припустили, що при віртуальних переміщеннях конденсатор підтримується при сталій різниці потенціалів. Тоді ми повинні були б взяти

і замість (8.15) ми мали б

що приводить до сили, рівної за величиною тій, що була отримана в рівнянні (8.15) (оскільки V=Q/C), але з протилежним знаком!
 
Звісно, сила, що діє між пластинами конденсатора, не змінює свій знак, коли ми від'єднуємо конденсатор від джерела електрики. Крім того, ми знаємо, що дві пластини з різнойменними електричними зарядами повинні притягуватися. Принцип віртуальної роботи в другому випадку було застосовано неправильно, ми не взяли до уваги віртуальну роботу, яку виконує джерело, що заряджає конденсатор. Це означає, що для того, щоб утримати потенціал при сталому значенні V, коли змінюється ємність, джерело електрики повинне постачити конденсатору заряд VΔC. Але цей заряд надходить при потенціалі V, так що робота, яку виконує електрична система, утримуючи заряд сталим, дорівнює V²ΔC. Механічна робота FΔz плюс ця електрична робота V²ΔC разом приводять до зміни повної енергії конденсатора на ¹/₂V²ΔC. Тому на механічну роботу, як і раніше, припадає FΔz= –¹/₂ V²ΔC.