Звернімося тепер до іншого прикладу електростатичної енергії в атомній фізиці — до електростатичної енергії атомного ядра. Перш ніж зайнятися цим питанням, ми повинні розглянути деякі властивості тих основних сил (які називаються ядерними силами), що скріплюють між собою протони й нейтрони в ядрі. Спочатку, після відкриття ядер — і протонів з нейтронами, які їх складають,— сподівалися, що закон сильної, неелектричної частини сили, яка діє, наприклад, між одним протоном та іншим, матиме якийсь простий вигляд, подібний, скажімо, до закону обернених квадратів в електриці. Якби вдалося визначити цей закон сил і, крім того, сил, що діють між протоном і нейтроном та між нейтроном і нейтроном, то тоді можна було б теоретично описати всю поведінку цих частинок у ядрах. Тому почала розгортатися велика програма вивчення розсіювання протонів у надії відшукати закон сил, що діють між ними; але після тридцятирічних зусиль нічого простого не виникло. Накопичився помітний багаж знань про сили, що діють між протоном і протоном, але при цьому виявилося, що ці сили складні настільки, наскільки можна собі уявити.
Під словами «складні настільки, наскільки можливо» ми розуміємо, що сили залежать від усіх величин, від яких вони могли б залежати.
По-перше, сила не проста функція відстані між протонами. На великих відстанях існує притягання, на менших — відштовхування. Залежність від відстані — це якась складна функція, яка й досі не дуже добре відома.
По-друге, сила залежить від орієнтації спіна протонів. У протонів є спін, а два взаємодіючих протони можуть обертатися або в один і той самий, або в протилежні боки. І сила, коли спіни паралельні, відрізняється від того, що буває, коли спіни антипаралельні (фіг. 8.6, а і б). Різниця велика; знехтувати нею не можна.
По-третє, сила помітно змінюється, залежно від того, паралельний чи ні проміжок між протонами до їхніх спінів (фіг. 8.6, в і г) або ж він до них перпендикулярний (фіг. 8.6, а і б).
По-четверте, сила, як і в магнетизмі, залежить (і навіть значно сильніше) від швидкості протонів. І ця швидкісна залежність сили аж ніяк не релятивістський ефект; вона велика навіть тоді, коли швидкості набагато менші за швидкість світла. Більше того, ця частина сили залежить, крім величини швидкості, і від інших речей. Скажімо, коли протон рухається неподалік від іншого протона, сила змінюється залежно від того, чи збігається орбітальний рух за напрямком зі спіновим обертанням (фіг. 8.6, д), чи ці два напрямки протилежні (фіг. 8.6. е). Це те, що називається «спін-орбітальною» частиною сили.
Не меншою мірою складний характер мають сили взаємодії протона з нейтроном і нейтрона з нейтроном. До цього дня ми не знаємо механізму, що визначає ці сили, не знаємо жодного простого способу їх зрозуміти.
Утім, в одному важливому відношенні ядерні сили все ж простіші, ніж могли б бути. Ядерні сили, що діють між двома нейтронами, збігаються із силами, що діють між протоном і нейтроном, і з силами, що діють між двома протонами! Якщо в якійсь системі, у якій є ядра, ми замінимо нейтрон протоном (і навпаки), то ядерні взаємодії не зміняться! «Фундаментальна причина» рівності нам не відома, але це прояв важливого принципу, який може бути поширений на закони взаємодії інших сильно взаємодіючих частинок, таких, як π-мезони і «дивні» частинки.
Цей факт чудово ілюструється розташуванням рівнів енергії у схожих ядрах. Розглянемо таке ядро, як В11 (бор-одинадцять), що складається з п'яти протонів і шести нейтронів. У ядрі ці одинадцять частинок взаємодіють одна з одною, виконуючи якийсь хитромудрий танець. Але існує таке поєднання всіх можливих взаємодій, яке має найнижчу з можливих енергій; це нормальний стан ядра, і його називають основним. Якщо ядро збурити (скажімо, стукнувши по ньому високоенергетичним протоном чи ще якоюсь частинкою), то воно може перейти в будь-яку з багатьох інших конфігурацій, які називають збудженими станами, кожна з яких матиме свою характеристичну енергію, яка вища за енергію основного стану. У дослідженнях з ядерної фізики, скажімо, що проводяться з генератором Ван-де-Граафа, енергії та інші властивості цих збуджених станів визначаються експериментально. Енергії п'ятнадцяти найнижчих з відомих збуджених станів В11 показано на одновимірній схемі в лівій половині фіг. 8.7. Горизонталь унизу являє собою основний стан. Перший збуджений стан має енергію на 2,14 МеВ вищу, ніж основний, наступний — на 4,46 МеВ вищу, ніж основний, і т. д. Дослідники намагаються знайти пояснення цієї доволі заплутаної картини рівнів енергії; поки що, однак, немає ще повної загальної теорії таких ядерних рівнів енергії.
Якщо в В11 замінити один з нейтронів протоном, вийде ядро ізотопу вуглецю С11. Енергії шістнадцяти нижчих збуджених станів ядра С11 теж було виміряно; вони показані на фіг. 8.7 праворуч. (Штрихами проведено рівні, для яких експериментальна інформація перебуває під питанням.)
Дивлячись на фіг. 8.7, ми помічаємо разючу подібність між картинами рівнів енергії обох ядер. Перші збуджені стани перебувають приблизно на 2 МеВ вище основного. Далі є широка щілина шириною 2,3 МеВ, що відділяє другий збуджений стан від першого, потім невеликий стрибок на 0,5 МеВ до третього рівня. Потім знову великий стрибок від четвертого до п'ятого рівня, але між п'ятим і шостим — вузький проміжок у 0,1 МеВ. І так далі. Приблизно на десятому рівні відповідність, схоже, зникає, але її все ще можна виявити, якщо позначити рівні іншими характеристиками, скажімо, їхніми моментами кількості руху, і тим, яким способом вони втрачають свій надлишок енергії.
Вражаюча подібність картини рівнів енергії ядер В11 і С11 — аж ніяк не просто збіг. Вона приховує за собою якийсь фізичний закон. І справді, вона показує, що навіть у складних умовах ядра заміна нейтрона протоном мало що змінить. Це може означати лише те, що нейтрон-нейтронні й протон-протонні сили мають бути майже однаковими. Тільки тоді ми могли б очікувати, що ядерні конфігурації з п'яти протонів і шести нейтронів збіжаться з комбінацією «п'ять нейтронів — шість протонів».
Зауважте, що властивості цих ядер нічого не говорять нам про нейтрон-протонні сили; число нейтрон-протонних комбінацій в обох ядрах однакове. Але якщо ми порівняємо два інших ядра, такі, як С14 з його шістьма протонами й вісьмома нейтронами та N14, у якому і тих, і тих по сім штук, то виявимо в енергетичних рівнях таку саму відповідність. Можна зробити висновок, що p—p-, n—n- і p—n-сили збігаються між собою в усіх деталях. У законах ядерних сил виник несподіваний принцип. Хоча сили, що діють між кожною парою ядерних частинок, дуже заплутані, але сили взаємодії для будь-якої з трьох мислимих пар одні й ті самі.
Однак є й якісь слабкі відмінності. Точної відповідності рівнів немає; крім того, основний стан С11 має абсолютну енергію (масу), яка на 1,982 МеВ вища за основний стан В11. Усі інші рівні теж за абсолютною величиною енергії вищі на таке саме число. Тож сили не зовсім точно рівні. Але ми й так добре знаємо, що повна величина сил не зовсім однакова; між двома протонами діють електричні сили, адже кожен з них заряджений позитивно, а між нейтронами таких сил немає. Можливо, відмінність між В11 і С11 пояснюється тим фактом, що в цих двох випадках різні електричні взаємодії протонів? А може, і залишкова мінімальна різниця в рівнях спричинена електричними ефектами? Раз уже ядерні сили такі сильні порівняно з електричними, то електричні ефекти могли б лише злегка збурити енергії рівнів.
Щоб перевірити це уявлення, або, краще сказати, щоб з'ясувати, до яких наслідків воно приведе, ми спершу розглянемо різницю в енергіях основних станів обох ядер. Щоб модель була зовсім простою, покладемо, що ядра — це кулі радіуса r (який потрібно визначити), що містять Z протонів. Якщо вважати ядро кулею з рівномірно розподіленим зарядом, то можна очікувати, що електростатична енергія [з рівняння (8.7)] виявиться рівною
Під словами «складні настільки, наскільки можливо» ми розуміємо, що сили залежать від усіх величин, від яких вони могли б залежати.
По-перше, сила не проста функція відстані між протонами. На великих відстанях існує притягання, на менших — відштовхування. Залежність від відстані — це якась складна функція, яка й досі не дуже добре відома.
По-друге, сила залежить від орієнтації спіна протонів. У протонів є спін, а два взаємодіючих протони можуть обертатися або в один і той самий, або в протилежні боки. І сила, коли спіни паралельні, відрізняється від того, що буває, коли спіни антипаралельні (фіг. 8.6, а і б). Різниця велика; знехтувати нею не можна.По-третє, сила помітно змінюється, залежно від того, паралельний чи ні проміжок між протонами до їхніх спінів (фіг. 8.6, в і г) або ж він до них перпендикулярний (фіг. 8.6, а і б).
По-четверте, сила, як і в магнетизмі, залежить (і навіть значно сильніше) від швидкості протонів. І ця швидкісна залежність сили аж ніяк не релятивістський ефект; вона велика навіть тоді, коли швидкості набагато менші за швидкість світла. Більше того, ця частина сили залежить, крім величини швидкості, і від інших речей. Скажімо, коли протон рухається неподалік від іншого протона, сила змінюється залежно від того, чи збігається орбітальний рух за напрямком зі спіновим обертанням (фіг. 8.6, д), чи ці два напрямки протилежні (фіг. 8.6. е). Це те, що називається «спін-орбітальною» частиною сили.
Не меншою мірою складний характер мають сили взаємодії протона з нейтроном і нейтрона з нейтроном. До цього дня ми не знаємо механізму, що визначає ці сили, не знаємо жодного простого способу їх зрозуміти.
Утім, в одному важливому відношенні ядерні сили все ж простіші, ніж могли б бути. Ядерні сили, що діють між двома нейтронами, збігаються із силами, що діють між протоном і нейтроном, і з силами, що діють між двома протонами! Якщо в якійсь системі, у якій є ядра, ми замінимо нейтрон протоном (і навпаки), то ядерні взаємодії не зміняться! «Фундаментальна причина» рівності нам не відома, але це прояв важливого принципу, який може бути поширений на закони взаємодії інших сильно взаємодіючих частинок, таких, як π-мезони і «дивні» частинки.
Цей факт чудово ілюструється розташуванням рівнів енергії у схожих ядрах. Розглянемо таке ядро, як В11 (бор-одинадцять), що складається з п'яти протонів і шести нейтронів. У ядрі ці одинадцять частинок взаємодіють одна з одною, виконуючи якийсь хитромудрий танець. Але існує таке поєднання всіх можливих взаємодій, яке має найнижчу з можливих енергій; це нормальний стан ядра, і його називають основним. Якщо ядро збурити (скажімо, стукнувши по ньому високоенергетичним протоном чи ще якоюсь частинкою), то воно може перейти в будь-яку з багатьох інших конфігурацій, які називають збудженими станами, кожна з яких матиме свою характеристичну енергію, яка вища за енергію основного стану. У дослідженнях з ядерної фізики, скажімо, що проводяться з генератором Ван-де-Граафа, енергії та інші властивості цих збуджених станів визначаються експериментально. Енергії п'ятнадцяти найнижчих з відомих збуджених станів В11 показано на одновимірній схемі в лівій половині фіг. 8.7. Горизонталь унизу являє собою основний стан. Перший збуджений стан має енергію на 2,14 МеВ вищу, ніж основний, наступний — на 4,46 МеВ вищу, ніж основний, і т. д. Дослідники намагаються знайти пояснення цієї доволі заплутаної картини рівнів енергії; поки що, однак, немає ще повної загальної теорії таких ядерних рівнів енергії.Якщо в В11 замінити один з нейтронів протоном, вийде ядро ізотопу вуглецю С11. Енергії шістнадцяти нижчих збуджених станів ядра С11 теж було виміряно; вони показані на фіг. 8.7 праворуч. (Штрихами проведено рівні, для яких експериментальна інформація перебуває під питанням.)
Дивлячись на фіг. 8.7, ми помічаємо разючу подібність між картинами рівнів енергії обох ядер. Перші збуджені стани перебувають приблизно на 2 МеВ вище основного. Далі є широка щілина шириною 2,3 МеВ, що відділяє другий збуджений стан від першого, потім невеликий стрибок на 0,5 МеВ до третього рівня. Потім знову великий стрибок від четвертого до п'ятого рівня, але між п'ятим і шостим — вузький проміжок у 0,1 МеВ. І так далі. Приблизно на десятому рівні відповідність, схоже, зникає, але її все ще можна виявити, якщо позначити рівні іншими характеристиками, скажімо, їхніми моментами кількості руху, і тим, яким способом вони втрачають свій надлишок енергії.
Вражаюча подібність картини рівнів енергії ядер В11 і С11 — аж ніяк не просто збіг. Вона приховує за собою якийсь фізичний закон. І справді, вона показує, що навіть у складних умовах ядра заміна нейтрона протоном мало що змінить. Це може означати лише те, що нейтрон-нейтронні й протон-протонні сили мають бути майже однаковими. Тільки тоді ми могли б очікувати, що ядерні конфігурації з п'яти протонів і шести нейтронів збіжаться з комбінацією «п'ять нейтронів — шість протонів».
Зауважте, що властивості цих ядер нічого не говорять нам про нейтрон-протонні сили; число нейтрон-протонних комбінацій в обох ядрах однакове. Але якщо ми порівняємо два інших ядра, такі, як С14 з його шістьма протонами й вісьмома нейтронами та N14, у якому і тих, і тих по сім штук, то виявимо в енергетичних рівнях таку саму відповідність. Можна зробити висновок, що p—p-, n—n- і p—n-сили збігаються між собою в усіх деталях. У законах ядерних сил виник несподіваний принцип. Хоча сили, що діють між кожною парою ядерних частинок, дуже заплутані, але сили взаємодії для будь-якої з трьох мислимих пар одні й ті самі.
Однак є й якісь слабкі відмінності. Точної відповідності рівнів немає; крім того, основний стан С11 має абсолютну енергію (масу), яка на 1,982 МеВ вища за основний стан В11. Усі інші рівні теж за абсолютною величиною енергії вищі на таке саме число. Тож сили не зовсім точно рівні. Але ми й так добре знаємо, що повна величина сил не зовсім однакова; між двома протонами діють електричні сили, адже кожен з них заряджений позитивно, а між нейтронами таких сил немає. Можливо, відмінність між В11 і С11 пояснюється тим фактом, що в цих двох випадках різні електричні взаємодії протонів? А може, і залишкова мінімальна різниця в рівнях спричинена електричними ефектами? Раз уже ядерні сили такі сильні порівняно з електричними, то електричні ефекти могли б лише злегка збурити енергії рівнів.
Щоб перевірити це уявлення, або, краще сказати, щоб з'ясувати, до яких наслідків воно приведе, ми спершу розглянемо різницю в енергіях основних станів обох ядер. Щоб модель була зовсім простою, покладемо, що ядра — це кулі радіуса r (який потрібно визначити), що містять Z протонів. Якщо вважати ядро кулею з рівномірно розподіленим зарядом, то можна очікувати, що електростатична енергія [з рівняння (8.7)] виявиться рівною
Зображення
де qe — елементарний заряд протона. Через те, що Z дорівнює для В11 п'яти, а для С11 шести, електростатичні енергії будуть різними.
Але за такої малої кількості протонів рівняння (8.22) не зовсім правильне. Якщо ми підрахуємо електричну енергію взаємодії всіх пар протонів, які розглядаються як точки, приблизно однорідно розподілені по кулі, то побачимо, що величину Z2 в (8.22) доведеться замінити на Z(Z—1), так що енергія дорівнюватиме
Але за такої малої кількості протонів рівняння (8.22) не зовсім правильне. Якщо ми підрахуємо електричну енергію взаємодії всіх пар протонів, які розглядаються як точки, приблизно однорідно розподілені по кулі, то побачимо, що величину Z2 в (8.22) доведеться замінити на Z(Z—1), так що енергія дорівнюватиме
Зображення
Якщо відомий радіус ядра r, ми можемо скористатися виразом (8.23), щоб визначити різницю електростатичних енергій ядер В11 і С11. Але зробимо навпаки: із спостережуваної різниці в енергіях обчислимо радіус, вважаючи, що вся наявна різниця за походженням — електростатична.
Загалом це не зовсім правильно. Різниця енергій 1,982 МеВ двох основних станів В11 і С11 включає енергії спокою, тобто енергії тс2 усіх частинок. Переходячи від В11 до С11, ми заміщуємо нейтрон протоном, маса якого трохи менша. Так що частина різниці енергій — це різниця в масах спокою нейтрона й протона, яка становить 0,784 МеВ. Та різниця, яку потрібно порівнювати з електростатичною енергією, тим самим більша за 1,982 МеВ; вона дорівнює
Загалом це не зовсім правильно. Різниця енергій 1,982 МеВ двох основних станів В11 і С11 включає енергії спокою, тобто енергії тс2 усіх частинок. Переходячи від В11 до С11, ми заміщуємо нейтрон протоном, маса якого трохи менша. Так що частина різниці енергій — це різниця в масах спокою нейтрона й протона, яка становить 0,784 МеВ. Та різниця, яку потрібно порівнювати з електростатичною енергією, тим самим більша за 1,982 МеВ; вона дорівнює
Зображення
Підставивши цю енергію в (8.23), для радіуса В11 або С11 отримаємо
Зображення
Чи має це число якийсь сенс? Щоб це перевірити, порівняймо його з іншими визначеннями радіусів цих ядер. Наприклад, можна визначити радіус ядра інакше, спостерігаючи, як воно розсіює швидкі частинки. У ході цих вимірювань з'ясувалося, що густина речовини в усіх ядрах приблизно однакова, тобто їхні об'єми пропорційні числу частинок, що в них містяться. Якщо через A позначити число протонів і нейтронів у ядрі (число, дуже близько пропорційне його масі), то виявляється, що радіус ядра дається виразом
Зображення
де
Зображення
З цих вимірювань ми отримаємо, що радіус ядра В11 (або С11) має бути приблизно рівним
Зображення
Порівнявши це з виразом (8.24), ми побачимо, що наші припущення про електростатичне походження різниці в енергіях В11 і С11 не такі вже й неправильні; розбіжність ледь сягає 15% (а це не так уже й погано для першого розрахунку за теорією ядра!).
Причина розбіжності, за всією ймовірністю, полягає в такому. Згідно з нашим нинішнім розумінням ядер, парна кількість ядерних частинок (у випадку В11 п'ять нейтронів з п'ятьма протонами) утворює свого роду оболонку; коли до цієї оболонки додається ще одна частинка, то замість того, щоб поглинутися, вона починає обертатися навколо оболонки. Якщо це так, то для додаткового протона потрібно взяти інше значення електростатичної енергії. Потрібно вважати, що надлишок енергії С11 над В11 якраз дорівнює
Причина розбіжності, за всією ймовірністю, полягає в такому. Згідно з нашим нинішнім розумінням ядер, парна кількість ядерних частинок (у випадку В11 п'ять нейтронів з п'ятьма протонами) утворює свого роду оболонку; коли до цієї оболонки додається ще одна частинка, то замість того, щоб поглинутися, вона починає обертатися навколо оболонки. Якщо це так, то для додаткового протона потрібно взяти інше значення електростатичної енергії. Потрібно вважати, що надлишок енергії С11 над В11 якраз дорівнює
Зображення
тобто дорівнює енергії, необхідній для того, щоб зовні оболонки з'явився ще один протон. Це число становить 5/6 величини, яку передбачає рівняння (8.23), так що нове значення радіуса дорівнюватиме 5/6 від (8.24). Воно набагато краще узгоджується з прямими вимірюваннями.
Узгодження в цифрах приводить до двох висновків. Перший: закони електрики, схоже, діють і на таких малих відстанях, як 10-13 см. Другий: ми переконалися в чудовому збігу — неелектрична частина сил взаємодії протона з протоном, нейтрона з нейтроном і протона з нейтроном однакова.
Узгодження в цифрах приводить до двох висновків. Перший: закони електрики, схоже, діють і на таких малих відстанях, як 10-13 см. Другий: ми переконалися в чудовому збігу — неелектрична частина сил взаємодії протона з протоном, нейтрона з нейтроном і протона з нейтроном однакова.