Тепер я хочу по-іншому пояснити вам, чому хвилевід так сильно послаблює поля, частота яких нижча за граничну частоту ωc. Я хочу, щоб ви отримали більш «фізичне» уявлення про те, чому так різко змінюється поведінка хвилеводу при низьких і при високих частотах. Для прямокутного хвилеводу це можна зробити, аналізуючи поля мовою відбиттів (або зображень) у стінках хвилеводу. Такий підхід годиться, однак, тільки для прямокутних хвилеводів; ось чому ми почали з математичного аналізу, який у принципі годиться для хвилеводів будь-якої форми.
Для описаного нами типу коливань вертикальні розміри (по y) не мали жодного значення, тому можна не звертати уваги на верх і низ хвилеводу й уявляти собі, що хвилевід у вертикальному напрямку простягається нескінченно. Нехай він просто складається з двох вертикальних пластин, віддалених одна від одної на відстань a.
Візьмемо як джерело полів вертикальний провід між пластинами; по ньому тече струм, який змінюється з частотою ω. Якби хвилевід не мав стінок, то від такого проводу розходилися б циліндричні хвилі.
Уявімо, що стінки хвилеводу зроблені з ідеального провідника. Тоді, точно як в електростатиці, умови на поверхні будуть виконані, якщо до поля проводу ми додамо поле одного або кількох правильно підібраних його зображень. Уявлення про зображення працює в електродинаміці анітрохи не гірше, ніж в електростатиці, за умови, звісно, що ми враховуємо запізнення. Ми знаємо, що це так, тому що ми багато разів бачили в дзеркалі зображення джерела світла. А дзеркало — це і є «ідеальний» провідник для електромагнітних хвиль оптичної частоти.
Розітнемо наш хвилевід горизонтально, як показано на фіг. 24.15, де W1 і W2 — стінки хвилеводу, а S0 — джерело (провід). Позначимо напрямок струму в проводі знаком плюс. Якби у хвилеводу була лише одна стінка, скажімо W1, її можна було б прибрати, помістивши зображення джерела (з протилежною полярністю) у точці S1. Але за двох стінок з'явиться також зображення S0 у стінці W2; позначимо його S2. Це джерело також матиме своє зображення в W1; позначимо його S3. Далі, самі S1 і S3 зобразяться в W2 точками S4 і S6 і т.д. І для нашої пари плоских провідників із джерелом посередині поле між провідниками збіжиться з полем, що генерується нескінченним ланцюжком джерел на відстані a одне від одного. (Це насправді якраз те, що ви побачите, подивившись на провід, розташований посередині між двома паралельними дзеркалами.) Щоб поля зверталися в нуль на стінках, полярності струмів у зображеннях повинні змінюватися від одного зображення до наступного. Іншими словами, їхня фаза змінюється на 180°. Поле хвилеводу — це просто суперпозиція полів усієї цієї нескінченної сукупності лінійних джерел.
Відомо, що поблизу джерел поле дуже нагадує статичні поля. У розд. 7, § 5 (вип. 5) ми розглядали статичне поле сітки лінійних джерел і виявили, що воно схоже на поле зарядженої пластини, якщо не рахувати членів ряду, що спадають у міру віддалення від сітки експоненційно. У нас середня сила джерел дорівнює нулю, тому що в кожної пари сусідніх джерел знаки протилежні. Будь-які поля, що існують тут, мають експоненційно спадати з відстанню. Впритул до джерела ми в основному сприймаємо поле цього найближчого джерела; на великих відстанях уже впливає декілька джерел, і їхній сумарний вплив дає нуль. Ми тепер розуміємо, чому хвилевід нижче граничної частоти дає експоненційно спадне поле. При низьких частотах годиться статичне наближення, і воно передбачає швидке послаблення полів з відстанню.
Тепер натомість виникає протилежне питання: чому ж у такому разі хвилі взагалі поширюються? Тепер уже це виглядає таємничо! А причина ж у тому, що при високих частотах запізнення полів може внести у фазу додаткові зміни, які можуть призвести до того, що поля джерел із протилежною фазою підсилюватимуть, а не гаситимуть одне одного. У розд. 29 (вип. 3) ми вже вивчали якраз для цієї задачі поля, створювані системою антен або оптичною ґраткою. Тоді ми виявили, що відповідне розташування кількох радіоантен може призвести до такої інтерференційної картини, що в одному напрямку сигнал буде дуже сильний, а в інших сигналів взагалі не буде.
Повернімося до фіг. 24.15 і подивімося на поля на великій відстані від лінії зображень джерел. Поля будуть великі лише в деяких напрямках, що залежать від частоти, саме в тих напрямках, у яких поля всіх джерел потрапляють у фазу одне до одного і додаються. На помітній відстані від джерел поле в цих особливих напрямках поширюється як плоскі хвилі. Ми зобразили таку хвилю на фіг. 24.16, де суцільними лініями дано гребені хвиль, а штрихом — западини. Напрямок хвилі повинен бути таким, щоб різниця запізнень від двох сусідніх джерел до гребеня хвилі відповідала половині періоду коливання. Іншими словами, різниця між r2 і r0 на малюнку дорівнює половині довжини хвилі в порожньому просторі:
Для описаного нами типу коливань вертикальні розміри (по y) не мали жодного значення, тому можна не звертати уваги на верх і низ хвилеводу й уявляти собі, що хвилевід у вертикальному напрямку простягається нескінченно. Нехай він просто складається з двох вертикальних пластин, віддалених одна від одної на відстань a.
Візьмемо як джерело полів вертикальний провід між пластинами; по ньому тече струм, який змінюється з частотою ω. Якби хвилевід не мав стінок, то від такого проводу розходилися б циліндричні хвилі.
Уявімо, що стінки хвилеводу зроблені з ідеального провідника. Тоді, точно як в електростатиці, умови на поверхні будуть виконані, якщо до поля проводу ми додамо поле одного або кількох правильно підібраних його зображень. Уявлення про зображення працює в електродинаміці анітрохи не гірше, ніж в електростатиці, за умови, звісно, що ми враховуємо запізнення. Ми знаємо, що це так, тому що ми багато разів бачили в дзеркалі зображення джерела світла. А дзеркало — це і є «ідеальний» провідник для електромагнітних хвиль оптичної частоти.
Розітнемо наш хвилевід горизонтально, як показано на фіг. 24.15, де W1 і W2 — стінки хвилеводу, а S0 — джерело (провід). Позначимо напрямок струму в проводі знаком плюс. Якби у хвилеводу була лише одна стінка, скажімо W1, її можна було б прибрати, помістивши зображення джерела (з протилежною полярністю) у точці S1. Але за двох стінок з'явиться також зображення S0 у стінці W2; позначимо його S2. Це джерело також матиме своє зображення в W1; позначимо його S3. Далі, самі S1 і S3 зобразяться в W2 точками S4 і S6 і т.д. І для нашої пари плоских провідників із джерелом посередині поле між провідниками збіжиться з полем, що генерується нескінченним ланцюжком джерел на відстані a одне від одного. (Це насправді якраз те, що ви побачите, подивившись на провід, розташований посередині між двома паралельними дзеркалами.) Щоб поля зверталися в нуль на стінках, полярності струмів у зображеннях повинні змінюватися від одного зображення до наступного. Іншими словами, їхня фаза змінюється на 180°. Поле хвилеводу — це просто суперпозиція полів усієї цієї нескінченної сукупності лінійних джерел.Відомо, що поблизу джерел поле дуже нагадує статичні поля. У розд. 7, § 5 (вип. 5) ми розглядали статичне поле сітки лінійних джерел і виявили, що воно схоже на поле зарядженої пластини, якщо не рахувати членів ряду, що спадають у міру віддалення від сітки експоненційно. У нас середня сила джерел дорівнює нулю, тому що в кожної пари сусідніх джерел знаки протилежні. Будь-які поля, що існують тут, мають експоненційно спадати з відстанню. Впритул до джерела ми в основному сприймаємо поле цього найближчого джерела; на великих відстанях уже впливає декілька джерел, і їхній сумарний вплив дає нуль. Ми тепер розуміємо, чому хвилевід нижче граничної частоти дає експоненційно спадне поле. При низьких частотах годиться статичне наближення, і воно передбачає швидке послаблення полів з відстанню.
Тепер натомість виникає протилежне питання: чому ж у такому разі хвилі взагалі поширюються? Тепер уже це виглядає таємничо! А причина ж у тому, що при високих частотах запізнення полів може внести у фазу додаткові зміни, які можуть призвести до того, що поля джерел із протилежною фазою підсилюватимуть, а не гаситимуть одне одного. У розд. 29 (вип. 3) ми вже вивчали якраз для цієї задачі поля, створювані системою антен або оптичною ґраткою. Тоді ми виявили, що відповідне розташування кількох радіоантен може призвести до такої інтерференційної картини, що в одному напрямку сигнал буде дуже сильний, а в інших сигналів взагалі не буде.
Повернімося до фіг. 24.15 і подивімося на поля на великій відстані від лінії зображень джерел. Поля будуть великі лише в деяких напрямках, що залежать від частоти, саме в тих напрямках, у яких поля всіх джерел потрапляють у фазу одне до одного і додаються. На помітній відстані від джерел поле в цих особливих напрямках поширюється як плоскі хвилі. Ми зобразили таку хвилю на фіг. 24.16, де суцільними лініями дано гребені хвиль, а штрихом — западини. Напрямок хвилі повинен бути таким, щоб різниця запізнень від двох сусідніх джерел до гребеня хвилі відповідала половині періоду коливання. Іншими словами, різниця між r2 і r0 на малюнку дорівнює половині довжини хвилі в порожньому просторі:Зображення
Тоді кут θ дається умовою
Зображення
Є, звісно, і інша сукупність хвиль, що біжать вниз під симетричним кутом стосовно лінії джерел. А повне поле у хвилеводі (не надто близько до джерела) є суперпозицією цих двох сукупностей хвиль (фіг. 24.17). Звісно, насправді картина істинних полів збігається із зображеною лише в просторі між стінками хвилеводу.У таких точках, як A і C, гребені двох хвильових картин збігаються, і в поля буде максимум; у точках же на кшталт B піки обох хвиль спрямовані у від'ємний бік, і поле має мінімум (найменше від'ємне значення). З плином часу поле у хвилеводі рухатиметься вздовж нього. Довжина хвилі дорівнюватиме λg — відстані від A дo C. Вона пов'язана з θ формулою
Зображення
Підставляючи (24.33) замість θ, отримуємо
Зображення
що в точності збігається з (24.19).
Тепер нам стає зрозуміло, чому хвилі поширюються тільки вище граничної частоти ωc. Якщо довжина хвиль у порожньому просторі більша за 2а, то не існує кута, під яким може з'явитися хвиля, показана на фіг. 24.16. Необхідна для цього конструктивна інтерференція виникає раптово, щойно λ0 виявляється меншою за 2а, або, що те саме, коли ω0=πс/а.
А якщо частота достатньо висока, то може з'явитися два або більше можливих напрямки поширення хвиль. У нашому випадку це станеться при λо < 2/3а. Але взагалі-то це може відбуватися і при λ0<а. Ці додаткові хвилі відповідають вищим типам хвиль, про які ми говорили.
Після нашого аналізу стає також зрозуміло, чому фазова швидкість хвиль, що біжать по трубі, перевищує c і залежить від ω. Коли ω змінюється, змінюється і кут на фіг. 24.16, під яким у порожньому просторі поширюються хвилі, а разом із цим змінюється і швидкість вздовж труби.
Хоча ми описали хвилі у хвилеводі у вигляді суперпозиції полів нескінченної сукупності лінійних джерел, але можна переконатися в тому, що той самий результат можна було б отримати, уявивши собі дві сукупності хвиль у порожньому просторі, які багаторазово відбиваються від двох ідеальних дзеркал вперед і назад, і пам'ятаючи, що подібне відбиття означає зміну знака фази. Ці сукупності відбитих хвиль гасили б одна одну під усіма кутами, крім кута θ [див. (24.33)]. Ту саму річ можна розглядати багатьма способами.
Тепер нам стає зрозуміло, чому хвилі поширюються тільки вище граничної частоти ωc. Якщо довжина хвиль у порожньому просторі більша за 2а, то не існує кута, під яким може з'явитися хвиля, показана на фіг. 24.16. Необхідна для цього конструктивна інтерференція виникає раптово, щойно λ0 виявляється меншою за 2а, або, що те саме, коли ω0=πс/а.
А якщо частота достатньо висока, то може з'явитися два або більше можливих напрямки поширення хвиль. У нашому випадку це станеться при λо < 2/3а. Але взагалі-то це може відбуватися і при λ0<а. Ці додаткові хвилі відповідають вищим типам хвиль, про які ми говорили.
Після нашого аналізу стає також зрозуміло, чому фазова швидкість хвиль, що біжать по трубі, перевищує c і залежить від ω. Коли ω змінюється, змінюється і кут на фіг. 24.16, під яким у порожньому просторі поширюються хвилі, а разом із цим змінюється і швидкість вздовж труби.
Хоча ми описали хвилі у хвилеводі у вигляді суперпозиції полів нескінченної сукупності лінійних джерел, але можна переконатися в тому, що той самий результат можна було б отримати, уявивши собі дві сукупності хвиль у порожньому просторі, які багаторазово відбиваються від двох ідеальних дзеркал вперед і назад, і пам'ятаючи, що подібне відбиття означає зміну знака фази. Ці сукупності відбитих хвиль гасили б одна одну під усіма кутами, крім кута θ [див. (24.33)]. Ту саму річ можна розглядати багатьма способами.