Рівняння (24.16) для kz насправді має два корені — один з плюсом, інший з мінусом. Відповідь слід писати так:
Зображення
Сенс цих двох знаків просто в тому, що хвилі у хвилеводі можуть бігти і з від'ємною фазовою швидкістю (у напрямку —z), і з додатною. Хвилі, природно, повинні мати можливість бігти в будь-яку сторону. І оскільки одночасно можуть існувати обидва типи хвиль, то розв'язок у вигляді стоячих хвиль теж можливий.
Наше рівняння для кz повідомляє нам також, що вищі частоти призводять до більших значень kz, тобто до коротших хвиль, поки в границі великих ω величина k не стане рівною ω/с— тому значенню, яке буває, коли хвиля біжить у порожнечі. Світло, яке ми «бачимо» крізь трубу, все ще біжить зі швидкістю с. Але подивіться натомість, яка дивна річ виходить, коли частота спадає. Спершу хвилі стають дедалі довшими. Але якщо частота ω стане надто малою, то під коренем у (24.20) раптово з'явиться від'ємне число. Це станеться, коли ω перевалить через πс/а або коли λ0стане більшою за 2а. Іншими словами, коли частота стає меншою за деяку критичну частоту (ωc=πс/а, хвильове число kz (а також λg ) стає уявним і жодного розв'язку в нас не залишається. Чи залишається? Хто, власне, сказав, що kz повинне бути дійсним? Що станеться, якщо воно стане уявним? Рівняння ж поля, як і раніше, будуть задовольнятися. Може, і уявні kz теж являють собою якусь хвилю?
Припустимо, що ω дійсно менше ωc; тоді можна написати
Наше рівняння для кz повідомляє нам також, що вищі частоти призводять до більших значень kz, тобто до коротших хвиль, поки в границі великих ω величина k не стане рівною ω/с— тому значенню, яке буває, коли хвиля біжить у порожнечі. Світло, яке ми «бачимо» крізь трубу, все ще біжить зі швидкістю с. Але подивіться натомість, яка дивна річ виходить, коли частота спадає. Спершу хвилі стають дедалі довшими. Але якщо частота ω стане надто малою, то під коренем у (24.20) раптово з'явиться від'ємне число. Це станеться, коли ω перевалить через πс/а або коли λ0стане більшою за 2а. Іншими словами, коли частота стає меншою за деяку критичну частоту (ωc=πс/а, хвильове число kz (а також λg ) стає уявним і жодного розв'язку в нас не залишається. Чи залишається? Хто, власне, сказав, що kz повинне бути дійсним? Що станеться, якщо воно стане уявним? Рівняння ж поля, як і раніше, будуть задовольнятися. Може, і уявні kz теж являють собою якусь хвилю?
Припустимо, що ω дійсно менше ωc; тоді можна написати
Зображення
Якщо тепер повернутися до нашої формули (24.12) для Еy , то треба буде написати
Зображення
Цей вираз приводить до поля Е, яке в часі коливається як eiωt, а по z змінюється як e±k′z. Воно плавно спадає або зростає з z, як будь-яка дійсна експонента. У нашому виведенні ми не думали про те, звідки взялися хвилі, де їхнє джерело, але, звісно, десь у хвилеводі воно повинне бути. І знак, який стоїть при k′, повинен бути таким, щоб поле спадало при віддаленні від джерела хвиль.
Отже, при частотах нижче ωc=πс/а хвилі вздовж труби не поширюються; осцилювальне поле проникає в трубу лише на відстань порядку 1/k′. З цієї причини частоту ωc називають «граничною частотою» хвилеводу. Дивлячись на (24.22), ми бачимо, що для частот трохи нижчих ωc число k′ мале, і поля можуть проникати в трубу досить далеко. Але якщо ω набагато менше ωc, коефіцієнт k′ в експоненті дорівнює π/а, і поле відмирає надзвичайно швидко (фіг. 24.7). Поле спадає в e разів на відстані а/π, тобто на третині ширини хвилеводу. Поля проникають у хвилевід на дуже малу відстань від джерела.
Ми хочемо ще раз підкреслити цю характерну рису нашого аналізу проходження хвиль по трубі — появу уявного хвильового числа kz. Коли, розв'язуючи рівняння у фізиці, ми отримуємо уявне число, це зазвичай не означає нічого фізичного. Для хвиль, однак, уявне хвильове число дійсно дещо означає. Хвильове рівняння, як і раніше, задовольняється; воно лише означає, що розв'язок приводить до експоненційно спадного поля замість хвиль, що поширюються. Отже, якщо в будь-якій задачі на хвилі k при якійсь частоті стає уявним, це означає, що форма хвилі змінюється — синусоїда переходить в експоненту.
Отже, при частотах нижче ωc=πс/а хвилі вздовж труби не поширюються; осцилювальне поле проникає в трубу лише на відстань порядку 1/k′. З цієї причини частоту ωc називають «граничною частотою» хвилеводу. Дивлячись на (24.22), ми бачимо, що для частот трохи нижчих ωc число k′ мале, і поля можуть проникати в трубу досить далеко. Але якщо ω набагато менше ωc, коефіцієнт k′ в експоненті дорівнює π/а, і поле відмирає надзвичайно швидко (фіг. 24.7). Поле спадає в e разів на відстані а/π, тобто на третині ширини хвилеводу. Поля проникають у хвилевід на дуже малу відстань від джерела.Ми хочемо ще раз підкреслити цю характерну рису нашого аналізу проходження хвиль по трубі — появу уявного хвильового числа kz. Коли, розв'язуючи рівняння у фізиці, ми отримуємо уявне число, це зазвичай не означає нічого фізичного. Для хвиль, однак, уявне хвильове число дійсно дещо означає. Хвильове рівняння, як і раніше, задовольняється; воно лише означає, що розв'язок приводить до експоненційно спадного поля замість хвиль, що поширюються. Отже, якщо в будь-якій задачі на хвилі k при якійсь частоті стає уявним, це означає, що форма хвилі змінюється — синусоїда переходить в експоненту.