У попередньому розділі ми з'ясували, що станеться із зосередженими елементами кола, якщо подати на них дуже високу частоту. Ми дійшли висновку, що резонансний контур можна замінити порожниною, всередині якої поля входять у резонанс одне з одним. Але є й інше цікаве технічне питання: як зв'язати між собою два предмети, щоб можна було передати електричну енергію від одного до іншого? У колах низької частоти цей зв'язок здійснюється по дротах, але цей спосіб на високих частотах не дуже гарний, тому що енергія розсіюється в усі боки і важко контролювати, куди вона потече. Від дротів в усі боки розбігаються поля; до того ж струми і напруги високої частоти не дуже добре «проводяться» дротами. У цьому розділі ми й хочемо розібратися, як можна з'єднувати між собою предмети на великій частоті. Такий принаймні один підхід до теми нашої лекції.
Але до неї можна підійти й по-іншому: можна сказати, що ми поки обговорювали поведінку хвиль у порожньому просторі, а тепер настав час подивитися, що станеться, якщо коливні поля обмежити в одному або двох вимірах. Ми виявимо нове цікаве явище: якщо поля обмежити в двох вимірах і дати їм свободу в третьому, вони поширюються у вигляді хвиль. «Хвилі у хвилеводі» і будуть предметом нашої лекції.
Почнемо з розробки загальної теорії лінії передачі. Звичайна лінія електропередачі, яка тягнеться від щогли до щогли полями і лісами, витрачає частину своєї потужності на випромінювання, але частота тут така мала (50—60 гц), що ці втрати майже непомітні. Від випромінювання можна позбутися, помістивши провід у металеву трубу, але це непрактично, тому що при таких струмах і напругах у мережі без великих, важких і дорогих труб не обійтися. Тож зазвичай у ходу «відкриті лінії».
На частотах трохи вищих (порядку кількох кілогерц) випромінювання вже цілком помітне. Але його можна зменшити, користуючись «двожильною» лінією передачі, як це робиться при телефонному зв'язку на малі відстані. Однак при подальшому підвищенні частоти випромінювання незабаром стає нестерпно сильним або за рахунок втрат енергії, або через те, що енергія перетікає в інші контури, де вона зовсім не потрібна. На частоті від кількох кілогерц до кількох тисяч мегагерц електромагнітні сигнали і електромагнітна енергія зазвичай передаються по коаксіальних лініях, тобто по проводу, поміщеному всередину циліндричного «зовнішнього провідника», або «захисту». Хоча подальші міркування годяться для лінії передачі з двох паралельних провідників будь-якого перерізу, мова йтиме про коаксіальний кабель.
Візьмемо найпростішу коаксіальну лінію, що складається з центрального провідника (нехай це буде тонкостінний порожнистий циліндр) і зовнішнього провідника — теж тонкостінного циліндра, вісь якого збігається з віссю внутрішнього провідника (фіг. 24.1). Для початку уявімо собі, як приблизно поводиться ця лінія при відносно низьких частотах. Ми вже дещо говорили про поведінку при низьких частотах, коли стверджували, що у двох таких провідників на кожну одиницю довжини припадає скільки-то там індуктивності і скільки-то ємності. І справді, поведінку будь-якої лінії передачі при низьких частотах можна описати, задавши її індуктивність на одиницю довжини L0 і її ємність на одиницю довжини С0. Тоді лінію можна було б розглядати як граничний випадок фільтра L—C (див. розд. 22, § 7). Можна створити такий фільтр, який буде імітувати лінію, якщо послідовно з'єднати між собою маленькі елементи індуктивності L0Δx і зашунтувати їх маленькими ємностями С0Δх (де Δх — елемент довжини лінії). Застосовуючи до нескінченного фільтра наші попередні результати, ми б побачили, що вздовж лінії мають поширюватися електричні сигнали. Але вчинимо інакше і замість цього вивчимо властивості лінії, спираючись на диференціальні рівняння.
Припустимо, ми спостерігаємо за тим, що відбувається у двох сусідніх точках лінії передачі, скажімо, на відстанях x і x+Δx від початку лінії. Позначимо напругу між провідниками через V(x), а струм у верхньому провіднику I(x) (фіг. 24.2). Якщо струм у лінії змінюється, то індуктивність спричинить падіння напруги вздовж невеликої ділянки лінії від x до x+Δx
Але до неї можна підійти й по-іншому: можна сказати, що ми поки обговорювали поведінку хвиль у порожньому просторі, а тепер настав час подивитися, що станеться, якщо коливні поля обмежити в одному або двох вимірах. Ми виявимо нове цікаве явище: якщо поля обмежити в двох вимірах і дати їм свободу в третьому, вони поширюються у вигляді хвиль. «Хвилі у хвилеводі» і будуть предметом нашої лекції.
Почнемо з розробки загальної теорії лінії передачі. Звичайна лінія електропередачі, яка тягнеться від щогли до щогли полями і лісами, витрачає частину своєї потужності на випромінювання, але частота тут така мала (50—60 гц), що ці втрати майже непомітні. Від випромінювання можна позбутися, помістивши провід у металеву трубу, але це непрактично, тому що при таких струмах і напругах у мережі без великих, важких і дорогих труб не обійтися. Тож зазвичай у ходу «відкриті лінії».
На частотах трохи вищих (порядку кількох кілогерц) випромінювання вже цілком помітне. Але його можна зменшити, користуючись «двожильною» лінією передачі, як це робиться при телефонному зв'язку на малі відстані. Однак при подальшому підвищенні частоти випромінювання незабаром стає нестерпно сильним або за рахунок втрат енергії, або через те, що енергія перетікає в інші контури, де вона зовсім не потрібна. На частоті від кількох кілогерц до кількох тисяч мегагерц електромагнітні сигнали і електромагнітна енергія зазвичай передаються по коаксіальних лініях, тобто по проводу, поміщеному всередину циліндричного «зовнішнього провідника», або «захисту». Хоча подальші міркування годяться для лінії передачі з двох паралельних провідників будь-якого перерізу, мова йтиме про коаксіальний кабель.
Візьмемо найпростішу коаксіальну лінію, що складається з центрального провідника (нехай це буде тонкостінний порожнистий циліндр) і зовнішнього провідника — теж тонкостінного циліндра, вісь якого збігається з віссю внутрішнього провідника (фіг. 24.1). Для початку уявімо собі, як приблизно поводиться ця лінія при відносно низьких частотах. Ми вже дещо говорили про поведінку при низьких частотах, коли стверджували, що у двох таких провідників на кожну одиницю довжини припадає скільки-то там індуктивності і скільки-то ємності. І справді, поведінку будь-якої лінії передачі при низьких частотах можна описати, задавши її індуктивність на одиницю довжини L0 і її ємність на одиницю довжини С0. Тоді лінію можна було б розглядати як граничний випадок фільтра L—C (див. розд. 22, § 7). Можна створити такий фільтр, який буде імітувати лінію, якщо послідовно з'єднати між собою маленькі елементи індуктивності L0Δx і зашунтувати їх маленькими ємностями С0Δх (де Δх — елемент довжини лінії). Застосовуючи до нескінченного фільтра наші попередні результати, ми б побачили, що вздовж лінії мають поширюватися електричні сигнали. Але вчинимо інакше і замість цього вивчимо властивості лінії, спираючись на диференціальні рівняння.Припустимо, ми спостерігаємо за тим, що відбувається у двох сусідніх точках лінії передачі, скажімо, на відстанях x і x+Δx від початку лінії. Позначимо напругу між провідниками через V(x), а струм у верхньому провіднику I(x) (фіг. 24.2). Якщо струм у лінії змінюється, то індуктивність спричинить падіння напруги вздовж невеликої ділянки лінії від x до x+ΔxЗображення
Або, беручи границю при Δx→0, отримуємо
Зображення
Зміна струму призводить до перепаду напруги.
Тепер ще раз погляньте на малюнок. Якщо напруга в x змінюється, то мають з'являтися заряди, які на цій ділянці передаються ємності. Якщо взяти невелику ділянку лінії від x до x+Δx, то заряд на ній дорівнює q=C0ΔxV. Швидкість зміни цього заряду дорівнює C0ΔxdV/dt, але заряд змінюється тільки тоді, коли струм I(x), що входить в елемент, відрізняється від вихідного струму I(x+Δx). Позначаючи різницю через ΔI, маємо
Тепер ще раз погляньте на малюнок. Якщо напруга в x змінюється, то мають з'являтися заряди, які на цій ділянці передаються ємності. Якщо взяти невелику ділянку лінії від x до x+Δx, то заряд на ній дорівнює q=C0ΔxV. Швидкість зміни цього заряду дорівнює C0ΔxdV/dt, але заряд змінюється тільки тоді, коли струм I(x), що входить в елемент, відрізняється від вихідного струму I(x+Δx). Позначаючи різницю через ΔI, маємо
Зображення
Якщо перейти до границі при Δx→0, виходить
Зображення
Тож збереження заряду передбачає, що градієнт струму пропорційний швидкості зміни напруги в часі. Рівняння (24.1) і (24.2) — це основні рівняння лінії передачі. За бажання їх можна видозмінити так, щоб вони враховували опір провідників або витік зарядів крізь ізоляцію між провідниками, але поки нам досить найпростішого прикладу.
Обидва рівняння лінії передачі можна об'єднати, продиференціювавши перше по t, а друге по x; і виключивши V або I. Вийде або
Обидва рівняння лінії передачі можна об'єднати, продиференціювавши перше по t, а друге по x; і виключивши V або I. Вийде або
Зображення
Ми знову впізнаємо хвильове рівняння по x. В однорідній лінії передачі напруга (і струм) поширюється вздовж лінії як хвиля. Напруга вздовж лінії підкорятиметься закону V(x, t)=f(x—vt) або V(x, t)=g(x+vt) або їхній сумі. А що таке тут v? Ми знаємо, що коефіцієнт при ∂2/∂t2 — це просто 1/v2, тож
Зображення
Покажіть самостійно, що напруга для кожної хвилі в лінії пропорційна струму цієї хвилі і що коефіцієнт пропорційності — це просто характеристичний імпеданс z0. Позначивши через V+ і I+ напругу і струм для хвилі, що біжить у напрямку +х, ви повинні будете отримати
Зображення
Так само, для хвилі, що біжить у напрямку —x, вийде
Зображення
Характеристичний імпеданс, як ми вже бачили з наших рівнянь для фільтра, дається виразом
Зображення
і тому є чистим опором.
Щоб знайти швидкість поширення v і характеристичний імпеданс z0 лінії передачі, потрібно знати індуктивність і ємність одиниці довжини лінії. Для коаксіального кабелю їх легко підрахувати. Погляньмо, як це робиться. При розрахунку індуктивності ми будемо йти за ідеями, викладеними в розд. 17, § 8, і покладемо 1/2 LI2 рівним магнітній енергії, яка своєю чергою отримується інтегруванням ε0с2B2/2 по об'єму. Нехай по внутрішньому провіднику тече струм I; тоді ми знаємо, що В=I/2πε0с2r, де r— відстань від осі. Беручи як елемент об'єму циліндричний шар товщини dr і довжини I, отримуємо для магнітної енергії
Щоб знайти швидкість поширення v і характеристичний імпеданс z0 лінії передачі, потрібно знати індуктивність і ємність одиниці довжини лінії. Для коаксіального кабелю їх легко підрахувати. Погляньмо, як це робиться. При розрахунку індуктивності ми будемо йти за ідеями, викладеними в розд. 17, § 8, і покладемо 1/2 LI2 рівним магнітній енергії, яка своєю чергою отримується інтегруванням ε0с2B2/2 по об'єму. Нехай по внутрішньому провіднику тече струм I; тоді ми знаємо, що В=I/2πε0с2r, де r— відстань від осі. Беручи як елемент об'єму циліндричний шар товщини dr і довжини I, отримуємо для магнітної енергії
Зображення
де а і b — радіуси внутрішнього і зовнішнього провідників. Інтегруючи, отримуємо
Зображення
Прирівнюємо цю енергію до 1/2 LI2 і знаходимо
Зображення
Як і слід було очікувати, L пропорційне довжині I лінії, тому L0(індуктивність на одиницю довжини) дорівнює
Зображення
Ми вже розраховували заряд на циліндричному конденсаторі [розд. 12, § 2 (вип. 5)]. Ділячи тепер цей заряд на різницю потенціалів, отримуємо
Зображення
Ємність же на одиницю довжини С0— це C/I. Зіставляючи цей результат з (24.10), ми переконуємось, що добуток L0C0 дорівнює просто 1/с2, тобто v=1/√L0C0 дорівнює с. Хвиля біжить по лінії зі швидкістю світла. Треба підкреслити, що цей результат залежить від зроблених припущень: а) що в проміжку між провідниками немає ні діелектриків, ні магнітних матеріалів; б) що всі струми течуть тільки по поверхні провідників (як це буває в ідеальних провідниках). Пізніше ми побачимо, що на високих частотах усі струми розподіляються на поверхні хороших провідників, немовби вони ідеальні провідники, тож це припущення правильне.
Цікаво, що за цих двох припущень добуток L0C0 дорівнює 1/с2 для будь-якої паралельної пари провідників, навіть у тому випадку, якщо, скажімо, внутрішній шестигранний провідник тягнеться якось уздовж еліптичного зовнішнього. Поки переріз постійний і між провідниками немає нічого, хвилі поширюються зі швидкістю світла.
Подібних загальних тверджень щодо характеристичного імпедансу зробити не можна. Для коаксіальної лінії він дорівнює
Цікаво, що за цих двох припущень добуток L0C0 дорівнює 1/с2 для будь-якої паралельної пари провідників, навіть у тому випадку, якщо, скажімо, внутрішній шестигранний провідник тягнеться якось уздовж еліптичного зовнішнього. Поки переріз постійний і між провідниками немає нічого, хвилі поширюються зі швидкістю світла.
Подібних загальних тверджень щодо характеристичного імпедансу зробити не можна. Для коаксіальної лінії він дорівнює
Зображення
Множник 1/ε0с має розмірність опору і дорівнює 120π ом. Геометричний фактор In (b/a) залежить від розмірів лише логарифмічно, тож коаксіальна лінія (і більшість інших ліній), як правило, має характеристичний імпеданс порядку 50 ом або щось близько до цього, до кількох сотень ом.