Прямокутний хвилевід

Те, про що ми зараз говоритимемо, на перший погляд здається дивовижним явищем: якщо з коаксіального кабелю прибрати внутрішню жилу, він все одно проводитиме електромагнітну енергію. Іншими словами, на достатньо високій частоті порожниста труба діє анітрохи не гірше, ніж труба, всередині якої є провід. Пов'язане це з іншим таємничим явищем, про яке ми вже знаємо,— на високих частотах резонансний контур (конденсатор з котушкою) можна замінити простою банкою.
Це виглядає дуже дивно, якщо користуватися уявленням про лінію передачі як про розподілені індуктивність і ємність. Але ж усі ми знаємо, що всередині порожньої металевої труби можуть поширюватися електромагнітні хвилі. Якщо труба пряма, крізь неї все видно! Отже, електромагнітні хвилі крізь трубу безсумнівно проходять. Але ми знаємо також, що немає можливості передавати хвилі низької частоти (змінний струм або телефонні сигнали) крізь одну-єдину металеву трубу. Виходить, електромагнітні хвилі проходять крізь неї тільки тоді, коли їхня довжина хвилі достатньо мала. Тому ми розглянемо граничний випадок найдовших хвиль (або найнижчих частот), здатних проходити крізь трубу даного розміру. Цю трубу, що слугує для проходження хвиль, називають хвилеводом.
 
Почнемо з прямокутної труби, її найпростіше аналізувати. Спершу викладемо все математично, а потім ще раз повернемось назад і розглянемо питання більш елементарно. Але цей більш елементарний підхід легко застосувати лише до прямокутних труб. Основні ж явища в будь-якій трубі однакові, тож математичні доводи звучать більш ґрунтовно.
 
Поставимо перед собою таке питання: якого типу хвилі можуть існувати в прямокутній трубі? Виберемо спочатку зручні осі координат; вісь z спрямуємо вздовж труби, а осі x і y — вздовж стінок (фіг. 24.3).
Відомо, що коли світлові хвилі біжать по трубі, їхнє електричне поле поперечне; тому почнемо з пошуку таких розв'язків, у яких Е перпендикулярне z, скажімо розв'язків лише з у-компонентою   Е_y  (фіг.  24.4,а).  Це електричне поле повинне якось змінюватися впоперек хвилеводу; справді, адже воно повинне звертатися в нуль на сторонах, паралельних осі y; струми і заряди в провіднику завжди влаштовуються так, щоб на його поверхні не залишилося ніяких дотичних складових електричного поля. Отже, графік Е_y від x повинен нагадувати якусь дугу (фіг. 24.4,б). Може, це знайдена нами для порожнини функція Бесселя? Ні, функції Бесселя з'являються тільки в задачах із циліндричною симетрією. При прямокутних перерізах хвилі — це звичайні гармонічні функції, щось на кшталт sin k_xx.
Оскільки ми шукаємо хвилі, що біжать уздовж труби, слід очікувати, що поле як функція z коливатиметься між додатними і від'ємними значеннями (фіг. 24.5) і що ці коливання бігтимуть уздовж труби з якоюсь швидкістю v. Якщо є коливання з певною частотою ω, то треба перевірити, чи може хвиля змінюватися по z як cos(ωt—k_zz) або, в зручнішій математичній формі, як е^{i(ωt—k_zz)}. Така залежність від z являє собою хвилю, що біжить зі швидкістю v=ω/k_z [див. розд. 29 (вип. 3)].
 
Отже, можна припустити, що хвиля в трубі має таку математичну форму:

Погляньмо, чи можна за такого припущення задовольнити правильні рівняння поля. По-перше, електричне поле не повинне мати складових, дотичних до провідника. Для цього наше поле підходить; вгорі і внизу воно спрямоване впоперек стінок, а з боків дорівнює нулю. Втім, для останнього необхідно, щоб півхвилі sin k_xх якраз укладалося на всій ширині хвилеводу, тобто щоб було

Ця умова визначає k_x. Є й інші можливості, наприклад k_xа=2π, 3π, ... або в загальному випадку

де n — ціле. Всі вони являють собою різні складні розташування полів, але ми далі говоритимемо про найпростіше, коли k_x=π/а, а а — внутрішня ширина труби.
 
Далі, дивергенція Е в порожньому просторі всередині труби повинна дорівнювати нулю, тому що в трубі немає зарядів. У нашого Е є тільки y-компонента, але по y вона не змінюється, тож дійсно ∇·E=0.
 
Нарешті, наше електричне поле повинне узгоджуватися з рештою рівнянь Максвелла для порожнього простору всередині труби. Це все одно, що вимагати, щоб воно задовольняло хвильове рівняння

Нам треба перевірити, чи підійде сюди обрана нами форма (24.12). Друга похідна Е_y по x просто дорівнює  –k_x²Е_y.. Друга похідна по y дорівнює нулю, тому що від y нічого не залежить. Друга похідна по z є –k_z²Е_y., а друга похідна по t це –ω²Е_y . Тоді рівняння (24.15) стверджує, що

Якщо Е_y не звертається всюди в нуль (цей випадок нас не дуже цікавить), то це рівняння виконується завжди, якщо

Число k_xми вже закріпили, тож це рівняння говорить нам, що хвилі припущеного нами типу можливі лише тоді, коли k_z пов'язане з частотою ω умовою (24.16), т.  е.  коли

Хвилі, які ми описали, поширюються в напрямку z з таким значенням k_z.
 
Хвильове число k_z, яке ми отримали з (24.17), дає нам при даній частоті ω швидкість, з якою біжать уздовж труби вузли хвилі. Фазова швидкість дорівнює

Згадайте тепер, що довжина λ, хвилі, що біжить, дається формулою λ=2πv/ω, тож k_z також дорівнює 2π/λ_g, де λ_g —довжина хвилі осциляції в напрямку z — «довжина хвилі у хвилеводі». Довжина хвилі у хвилеводі, звісно, відрізняється від довжини електромагнітних хвиль тієї ж частоти, але в порожньому просторі. Якщо довжину хвилі в порожньому просторі позначити λ₀ (що дорівнює 2πc/ω), то (24.17) можна переписати в такому вигляді:

Крім електричних полів, існують і магнітні поля, які теж рухаються хвилеподібно. Ми не будемо зараз займатися виведенням виразів для них. Адже c²∇ X В = ∂E/∂t, і лінії В циркулюють навколо областей, де ∂E/∂t — найбільше, тобто на півшляху між максимумом і мінімумом  Е. Петлі В  лежать паралельно площині  xz і між гребенями і западинами Е (фіг. 24.6).