Звернімося тепер до питання, чому у феромагнітних матеріалах навіть малі магнітні поля призводять до такої великої намагніченості. Намагніченість феромагнітних матеріалів типу заліза або нікелю утворюється завдяки магнітним моментам електронів однієї з внутрішніх оболонок атома. Магнітний момент μ кожного електрона дорівнює добутку q/2m на g-фактор і момент кількості руху J. Для окремого електрона за відсутності суто орбітального руху g=2, а компонента J у будь-якому напрямку, скажімо, в напрямку осі z, дорівнює ±h/2, так що компонента μ в напрямку осі z буде
Зображення
В атомі заліза внесок у феромагнетизм фактично дають лише два електрони, тож для спрощення міркувань ми говоритимемо про атом нікелю, який є феромагнетиком, подібно до заліза, але має на тій самій внутрішній оболонці лише один «феромагнітний» електрон. (Усі міркування неважко потім поширити і на залізо.)
Уся справа в тому, що точнісінько так само, як і в описаних нами парамагнітних матеріалах, атомні магнітики за наявності зовнішнього магнітного поля В прагнуть вишикуватися по полю, але їх збиває тепловий рух. У попередньому розділі ми з'ясували, що рівновага між силами магнітного поля, які намагаються вишикувати атомні магнітики, і дією теплового руху, що прагне їх збити, приводить до того, що середній магнітний момент одиниці об'єму в напрямку В виявляється рівним
Уся справа в тому, що точнісінько так само, як і в описаних нами парамагнітних матеріалах, атомні магнітики за наявності зовнішнього магнітного поля В прагнуть вишикуватися по полю, але їх збиває тепловий рух. У попередньому розділі ми з'ясували, що рівновага між силами магнітного поля, які намагаються вишикувати атомні магнітики, і дією теплового руху, що прагне їх збити, приводить до того, що середній магнітний момент одиниці об'єму в напрямку В виявляється рівним
Зображення
де під Вa ми маємо на увазі поле, що діє на атом, а під kT — теплову (больцманівську) енергію. У теорії парамагнетизму ми як Вa використовували саме поле В, нехтуючи при цьому частиною поля, що діє на кожен атом з боку сусіднього. Але у випадку феромагнетиків виникає ускладнення. Ми вже не можемо як поле Вa, що діє на окремий атом, брати середнє поле в залізі. Замість цього нам слід вчинити так само, як це робилося у випадку діелектрика: нам потрібно знайти локальне поле, що діє на окремий атом. При точному розв'язанні нам слід було б скласти внески всіх полів від інших атомів кристалічної ґратки, що діють на атом, який ми розглядаємо. Але подібно до того, як ми чинили у випадку діелектрика, зробимо наближення, що полягає в тому, що поле, яке діє на атом, буде таким самим, як і в маленькій сферичній порожнині всередині матеріалу (припускаючи при цьому, як і раніше, що моменти сусідніх атомів не змінюються через наявність порожнини).
Слідуючи міркуванням розд. 11 (вип. 5), ми можемо сподіватися, що має вийти формула
Слідуючи міркуванням розд. 11 (вип. 5), ми можемо сподіватися, що має вийти формула
Зображення
схожа на формулу (11.25). Але це буде неправильно. Однак ми все ж можемо використати отримані там результати, якщо ретельно порівняємо рівняння з розд. 11 з рівняннями феромагнетизму, які ми напишемо зараз. Зіставимо спочатку відповідні вихідні рівняння. Для областей, у яких струми провідності й заряди відсутні, ми маємо:
Зображення
Ці два набори рівнянь можна вважати аналогічними, якщо ми суто математично зіставимо
Зображення
Іншими словами, якщо рівняння феромагнетизму записати як
Зображення
то вони будуть схожі на рівняння електростатики.
У минулому ця суто алгебраїчна відповідність завдала нам деяких неприємностей. Багато хто починав думати, що саме Н і є магнітне поле. Але, як ми вже переконалися, фізично фундаментальними полями є Е і В, а поле Н — поняття похідне. Таким чином, хоча рівняння й аналогічні, фізика їх зовсім різна. Однак це не може змусити нас відмовитися від принципу, що однакові рівняння мають однакові розв'язки.
Тепер можна скористатися нашими попередніми результатами про поля всередині порожнини різної форми в діелектриках, які наведено на фіг. 36.1, для знаходження поля Н. Знаючи Н, можна визначити і В. Наприклад, поле Н усередині голкоподібної порожнини, паралельної М (згідно з результатом, наведеним у § 1), буде тим самим, що й поле Н усередині матеріалу:
У минулому ця суто алгебраїчна відповідність завдала нам деяких неприємностей. Багато хто починав думати, що саме Н і є магнітне поле. Але, як ми вже переконалися, фізично фундаментальними полями є Е і В, а поле Н — поняття похідне. Таким чином, хоча рівняння й аналогічні, фізика їх зовсім різна. Однак це не може змусити нас відмовитися від принципу, що однакові рівняння мають однакові розв'язки.
Тепер можна скористатися нашими попередніми результатами про поля всередині порожнини різної форми в діелектриках, які наведено на фіг. 36.1, для знаходження поля Н. Знаючи Н, можна визначити і В. Наприклад, поле Н усередині голкоподібної порожнини, паралельної М (згідно з результатом, наведеним у § 1), буде тим самим, що й поле Н усередині матеріалу:
Зображення
Але оскільки в нашій порожнині М дорівнює нулю, то ми отримуємо
Зображення
З іншого боку, для дископодібної порожнини, перпендикулярної М,
Зображення
Нарешті, для сферичної порожнини аналогія з рівнянням (36.3) дала б
Зображення
Результати для магнітного поля, як бачите, відрізняються від тих, які ми мали для електричного поля.
Звичайно, їх можна отримати й більш фізично, безпосередньо використовуючи рівняння Максвелла. Наприклад, рівняння (36.34) безпосередньо випливає з рівняння ∇·B = 0. (Візьміть гауссову поверхню, яка наполовину перебуває в матеріалі, а наполовину — поза ним.) Подібним же чином ви можете отримати рівняння (36.33), скориставшись контурним інтегралом по шляху, який туди йде по порожнині, а назад повертається через матеріал. Фізично поле в порожнині зменшується завдяки поверхневим струмам, що визначаються як ∇×М. На вашу долю залишається показати, що рівняння (36.35) можна отримати, розглядаючи ефекти поверхневих струмів на межі сферичної порожнини.
При знаходженні рівноважної намагніченості з рівняння (36.29) зручніше, виявляється, мати справу з Н, тому ми пишемо
Звичайно, їх можна отримати й більш фізично, безпосередньо використовуючи рівняння Максвелла. Наприклад, рівняння (36.34) безпосередньо випливає з рівняння ∇·B = 0. (Візьміть гауссову поверхню, яка наполовину перебуває в матеріалі, а наполовину — поза ним.) Подібним же чином ви можете отримати рівняння (36.33), скориставшись контурним інтегралом по шляху, який туди йде по порожнині, а назад повертається через матеріал. Фізично поле в порожнині зменшується завдяки поверхневим струмам, що визначаються як ∇×М. На вашу долю залишається показати, що рівняння (36.35) можна отримати, розглядаючи ефекти поверхневих струмів на межі сферичної порожнини.
При знаходженні рівноважної намагніченості з рівняння (36.29) зручніше, виявляється, мати справу з Н, тому ми пишемо
Зображення
У наближенні сферичної порожнини коефіцієнт λ слід взяти рівним 1/3, але, як ви побачите пізніше, нам доведеться користуватися дещо іншим його значенням, а поки що залишимо його як підгінний параметр. Крім того, усі поля ми візьмемо в одному й тому самому напрямку, щоб нам не потрібно було дбати про напрямок векторів. Якби тепер ми підставили рівняння (36.36) у (36.29), то отримали б рівняння, яке пов'язує намагніченість M з намагнічувальним полем H:
Зображення
Однак це рівняння неможливо розв'язати точно, тож ми робитимемо це графічно.
Сформулюємо задачу в більш загальній формі, записуючи рівняння (36.29) у вигляді
Сформулюємо задачу в більш загальній формі, записуючи рівняння (36.29) у вигляді
Зображення
де Мнас — намагніченість насичення, тобто Nμ, а x — величина μBa/kT. Залежність М/Мнас від x показана на фіг. 36.13 (крива а). Скориставшись ще рівнянням (36.36) для Ba, можна записати x як функцію від M:Зображення
Ця формула визначає лінійну залежність між М/Мнас і x при будь-якій величині H. Пряма перетинається з віссю x у точці x=μH/kT, і нахил її дорівнює ε0c2kT/μλMнас. Для будь-якого окремого значення H це буде пряма, подібна до прямої b на фіг. 36.13. Перетин кривих a і b дає нам розв'язок для М/Мнас. Отже, задача розв'язана.Подивимось тепер, чи придатні ці розв'язки за різних обставин. Почнемо з H=0. Тут постають дві можливості, показані кривими b1 і b2 на фіг. 36.14. Зверніть увагу, що нахил прямої (36.38) пропорційний абсолютній температурі T. Таким чином, при високих температурах вийде пряма, подібна до b1. Розв'язком буде тільки М/Мнас=0. Іншими словами, коли намагнічувальне поле H дорівнює нулю, намагніченість теж дорівнює нулю. При низьких температурах ми отримали б лінію типу b2 і стали б можливі два розв'язки для М/Мнас: один M/Mнас=0, а інший M/Mнас порядку одиниці. Виявляється, що тільки другий розв'язок стійкий, у чому можна переконатися, розглядаючи малі варіації в околі зазначених розв'язків.
Відповідно до цього за достатньо низьких температур магнітні матеріали повинні намагнічуватися спонтанно. Коротше кажучи, коли тепловий рух достатньо малий, то взаємодія між атомними магнітиками змушує їх вишиковуватися паралельно один одному, виходить постійно намагнічений матеріал, аналогічний постійно поляризованим сегнетоелектрикам, про які ми говорили в розд. 11 (вип. 5).
Якщо ми вирушимо від високих температур і почнемо рухатися вниз, то за певної критичної температури, яка називається температурою Кюрі Тc, несподівано проявляється феромагнітна поведінка. Ця температура відповідає на фіг. 36.14 лінії b3, дотичній до кривої a, нахил якої дорівнює одиниці. Тож температура Кюрі визначається з рівності
Зображення
За бажання рівняння (36.38) можна записати в простішому вигляді через Тc:
Зображення
Що ж виходить для малих намагнічувальних полів H? З фіг. 36.14 неважко зрозуміти, що вийде, якщо нашу пряму лінію зсунути трохи вправо. У випадку низької температури точка перетину трохи зсунеться вправо по слабо нахиленій частині кривої a і зміни M будуть порівняно невеликі. Однак у випадку високої температури точка перетину побіжить по крутій частині кривої a і зміни M стануть відносно швидкими. Цю частину кривої ми фактично можемо наближено замінити прямою лінією a з одиничним нахилом і написати
Зображення
Тепер можна розв'язати рівняння відносно М/Мнас
Зображення
Ми отримуємо закон, дещо схожий на закон для парамагнетизму:
Зображення
Відмінність полягає, зокрема, у тому, що ми отримали намагніченість як функцію H, з урахуванням взаємодії атомних магнітиків, однак головне те, що намагніченість обернено пропорційна різниці температур T і Тc, а не просто абсолютній температурі T. Нехтування взаємодією між сусідніми атомами відповідає λ= 0, що, згідно з рівнянням (36.39), означає Тc = 0. Результат при цьому вийде точнісінько таким самим, як і в розд. 35.
Нашу теоретичну картину можна звірити з експериментальними даними для нікелю. На досліді виявлено, що феромагнітні властивості нікелю зникають, коли температура піднімається вище 631° К. Це значення можна порівняти зі значенням Тc, обчисленим із рівності (36.39). Згадуючи, що Мнас = μN, отримуємо
Нашу теоретичну картину можна звірити з експериментальними даними для нікелю. На досліді виявлено, що феромагнітні властивості нікелю зникають, коли температура піднімається вище 631° К. Це значення можна порівняти зі значенням Тc, обчисленим із рівності (36.39). Згадуючи, що Мнас = μN, отримуємо
Зображення
З густини й атомної ваги нікелю знаходимо
Зображення
А обчислення μ з рівняння (36.28) і підстановка λ = 1/3 дає
Зображення
Розбіжність з експериментом приблизно в 2600 разів! Наша теорія феромагнетизму повністю провалилася!
Можна спробувати «підправити» нашу теорію, як це зробив Вейсс, припустивши, що з якихось невідомих причин λ дорівнює не 1/3, а (2600)· 1/3. т. е. близько 900. Виявляється, що подібна величина виходить і для інших феромагнітних матеріалів типу заліза. Повернімося до рівняння (36.36) і спробуємо зрозуміти, що це може означати? Ми бачимо, що велика величина λ, означає, що Вa (локальне поле, яке діє на атом) має бути більшим, набагато більшим, ніж ми думали. Фактично, записуючи H = В–M/ε0c2, ми отримали
Можна спробувати «підправити» нашу теорію, як це зробив Вейсс, припустивши, що з якихось невідомих причин λ дорівнює не 1/3, а (2600)· 1/3. т. е. близько 900. Виявляється, що подібна величина виходить і для інших феромагнітних матеріалів типу заліза. Повернімося до рівняння (36.36) і спробуємо зрозуміти, що це може означати? Ми бачимо, що велика величина λ, означає, що Вa (локальне поле, яке діє на атом) має бути більшим, набагато більшим, ніж ми думали. Фактично, записуючи H = В–M/ε0c2, ми отримали
Зображення
Відповідно до нашої початкової ідеї, коли ми приймали λ = 1/3, локальна намагніченість M зменшує ефективне поле Вa на величину — 2М/3ε0. Навіть якби наша модель сферичної порожнини була не дуже хороша, ми все одно очікували б якогось зменшення. Замість того щоб пояснити явище феромагнетизму, ми змушені вважати, що намагніченість збільшує локальне поле у величезну кількість разів: у тисячу і навіть більше. Очевидно, не існує якогось розумного способу для створення поля такої жахливої величини, що діє на атом, ні навіть поля потрібного знака! Зрозуміло, що наша «магнітна» теорія феромагнетизму зазнала прикрого провалу. Ми змушені зробити висновок, що у феромагнетизмі ми маємо справу з якимись немагнітними взаємодіями між електронами сусідніх атомів, що обертаються. Ця взаємодія повинна породжувати в сусідніх спінів сильну тенденцію до вишиковування в одному напрямку. Ми побачимо пізніше, що ця взаємодія пов'язана з квантовою механікою і принципом заборони Паулі.І, нарешті, подивимось, що відбувається при низьких температурах, коли Т<ТC. Ми бачили, що навіть при H=0 у цьому випадку має існувати спонтанна намагніченість, яку визначає перетин кривих a і b2 на фіг. 36.14. Якщо ми, змінюючи нахил лінії b2,
знаходитимемо M для різних температур, то отримаємо теоретичну криву, показану на фіг. 36.15. Для всіх феромагнітних матеріалів, атомні моменти яких зумовлені одним електроном, ця крива має бути однією й тією самою. Для інших матеріалів подібні криві можуть відрізнятися лише трохи.
У границі, коли T прямує до абсолютного нуля, M прямує до Мнас. При зростанні температури намагніченість зменшується, падаючи до нуля при температурі Кюрі. Точками на фіг. 36.15 показано експериментальні дані для нікелю. Вони досить добре лягають на теоретичну криву. Хоча ми й не розуміємо механізму, що лежить в основі, але загальні властивості теорії, очевидно, все ж правильні.
Але в нашій спробі зрозуміти феромагнетизм є ще одна неприємна неузгодженість, яка має нас турбувати. Ми виявили, що вище певної температури матеріал має поводитися як парамагнітна речовина, намагніченість якої пропорційна H (або В), а нижче цієї температури має виникати спонтанна намагніченість. Але при побудові кривої намагнічування для заліза ми якраз цього й не виявили. Залізо стає постійно намагніченим тільки після того, як ми його «намагнітимо». А відповідно до щойно висловлених ідей воно повинно намагнічуватися саме! Що ж невірно? Виявляється, що якщо ви розглянете достатньо маленький кристал заліза або нікелю, то побачите, що він і справді повністю намагнічений! А великий шматок заліза складається з маси таких маленьких областей, або «доменів», які намагнічені в різних напрямках, так що середня намагніченість у великому масштабі виявляється рівною нулю. Однак у кожному маленькому домені залізо все ж намагнічує само себе, причому M приблизно дорівнює Мнас. Як наслідок цієї доменної структури властивості великого шматка матеріалу мають бути зовсім відмінними від мікроскопічних, як це й виявляється насправді.