Індуктивність із залізним осердям

Одне з найважливіших застосувань магнітні матеріали знаходять в електричних пристроях, наприклад трансформаторах, електричних моторах тощо. Пояснюється це передусім тим, що за допомогою заліза можна контролювати поведінку магнітного поля, а також при даному електричному струмі отримувати значно більші поля. Наприклад, типовий «тороїдальний» індуктивний пристрій багато в чому нагадує те, що зображено на фіг. 36.7. При великій індуктивності ми можемо зробити пристрій набагато меншого об'єму і витратити набагато менше міді, ніж в еквівалентному пристрої з «повітряним осердям». Тому при великій індуктивності ми досягаємо набагато меншого опору обмотки, так що пристрій ближчий до «ідеального», особливо при низьких частотах. Неважко якісно простежити, як працює такий пристрій. Якщо в обмотці тече струм I, то створюване всередині поле H, як це видно з рівняння (36.20), пропорційне струму I. Напруга V на виводах пов'язана з магнітним полем B. Якщо знехтувати опором обмотки, то напруга V  буде пропорційна dB/dt. Індуктивність L, яка дорівнює відношенню V до dI/dt (див. розд. 17, § 7, вип. 6), залежить, таким чином, від зв'язку між B і H у залізі. Оскільки B набагато більше за H, це в багато разів збільшує індуктивність, ніби малий струм у котушці, який зазвичай дає слабке магнітне поле, змушує вишиковуватися маленькі магнітики, що сидять у залізі, і створює «магнітний» струм, який у величезну кількість разів більший за зовнішній струм в обмотці. Усе відбувається так, ніби в котушці виникає струм, набагато більший, ніж насправді. Коли ми змінюємо напрямок струму, усі маленькі магнітики перевертаються, внутрішні струми потечуть в іншому напрямку, і наведена е.р.с. виходить набагато більшою, ніж без заліза. Якщо ми хочемо обчислити індуктивність, то це можна зробити, обчислюючи енергію на кшталт того, як описано в розд. 17, § 8. Швидкість, з якою енергія віддається джерелом струму, дорівнює IV. Напруга V дорівнює площі поперечного перерізу осердя A, помноженій на N і на dB/dt. А згідно з виразом (36.20), I = (ε₀c²l/N) H. Таким чином,

Інтегруючи за часом, отримуємо

Зауважте, що lA дорівнює об'єму тора, тому густина енергії и= U/(Об'єм магнітного матеріалу), як ми показали, дорівнює

Тут виявляється одна цікава обставина. Коли в обмотці тече змінний струм, то B у залізі «ходить» по петлі гістерезису.   А   оскільки   B — неоднозначна   функція  H, то інтеграл ∫HdB по замкнутому циклу дорівнює не нулю, а площі, укладеній усередині петлі гістерезису. Таким чином, за кожен цикл джерело струму віддає деяку енергію, що дорівнює площі петлі гістерезису. Це є втрати з електромагнітного циклу; енергія йде на нагрівання заліза. Такі втрати називаються гістерезисними. Щоб вони були меншими, петлю гістерезису бажано зробити якомога вужчою. Один із способів зменшити площу петлі — максимально зменшити поле в кожному циклі. Для менших максимальних полів ми отримуємо гістерезисну криву, подібну до зображеної на фіг. 36.9. Крім того, застосовуються особливі матеріали з дуже вузькою петлею. Щоб отримати цю властивість, спеціально створено так зване трансформаторне залізо, яке являє собою сплав заліза з невеликою домішкою кремнію.
 
Коли петля гістерезису дуже мала, співвідношення B і H наближено можна подати у вигляді лінійного рівняння.   Зазвичай  пишуть

Тут стала μ зовсім не магнітний момент, з яким ми зустрічалися раніше. Вона називається магнітною проникністю. (Іноді її називають також відносною проникністю.) Типова проникність звичайних сортів заліза дорівнює кільком тисячам. Однак існують спеціальні сплави, типу так званого «супермалою», проникність яких  може  бути  порядку   мільйона.
 
Якщо в рівнянні (36.21) ми скористаємося наближенням B=μH, то енергію індуктивності, яка має форму тора, можна  записати  як

так що густина енергії наближено дорівнює

Тепер ми можемо вираз для  енергії (36.24)  прирівняти до енергії індуктивності LI²/2 і знайти L. Виходить

А скориставшись виразом (36.20) для відношення H/I, знаходимо

Таким чином, індуктивність пропорційна μ. Якщо вам потрібна індуктивність для таких пристроїв, як звукові підсилювачі, то бажано мати матеріал, у якого зв'язок між B і H достатньо лінійний. [Ви, мабуть, пам'ятаєте, що в розд. 50 (вип. 4) ми говорили про генерацію гармонік у нелінійних системах.] Для таких задач рівняння (36.23) буде дуже добрим наближенням. З іншого боку, якщо потрібно генерувати гармоніки, то використовують індуктивності, що поводяться вкрай нелінійно. При цьому ви повинні користуватися складною кривою H—B і застосовувати при обчисленнях графічні  або чисельні методи.
 
У звичайних «трансформаторах» на одному й тому самому торі, або осерді, з магнітного матеріалу намотано дві котушки. (У великих трансформаторах осердя для зручності робиться прямокутним.) При цьому зміна струму в «первинній» обмотці спричиняє зміну поля в осерді, яка індукує е.р.с. у «вторинній» обмотці. Оскільки потік через кожен виток обох обмоток один і той самий, то величина відношення е.р.с. у цих двох обмотках така сама, як відношення числа витків у кожній з них. Напруга, прикладена до первинної обмотки, перетворюється у вторинній на напругу іншої величини. А оскільки для створення потрібних змін магнітного поля необхідний певний повний струм, то алгебраїчна сума струмів у двох обмотках має залишатися постійною і дорівнювати потрібному «намагнічувальному» струму. При зміні напруги змінюється і сила струму в обмотках, тобто разом із перетворенням напруги відбувається і перетворення  струму.