Струми намагнічування

У цьому розділі ми поговоримо про деякі матеріали, в яких повний ефект магнітних моментів виявляється в багато разів сильніше, ніж у випадку парамагнетизму або діамагнетизму. Це явище називається феромагнетизмом. У парамагнітних і діамагнітних матеріалах при поміщенні їх у зовнішнє магнітне поле виникає зазвичай настільки слабкий наведений індукований магнітний момент, що нам не доводиться думати про додаткові магнітні поля, створювані цими магнітними моментами. Інша справа магнітні моменти феромагнітних матеріалів, які створюються прикладеним магнітним полем. Вони дуже великі і справляють істотний вплив на самі поля. Ці індуковані магнітні моменти такі величезні, що вони вносять головний внесок у спостережувані поля. Тому нам слід подбати про математичну теорію великих індукованих магнітних моментів. Це, звичайно, суто формальне питання. Фізична проблема полягає в тому, чому магнітні моменти такі великі і як вони «влаштовані». Але до цього питання ми підійдемо  трохи  пізніше.
 
Знаходження магнітних полів у феромагнітних матеріалах дещо нагадує задачу про знаходження електричних полів у діелектриках. Пам'ятаєте, спочатку ми описували внутрішні властивості діелектрика через векторне поле Р — дипольний момент одиниці об'єму. Потім ми зметикували, що ефект цієї поляризації еквівалентний густині заряду ρ_пол,   визначуваній  дивергенцією  Р:

Повний же заряд у будь-якій ситуації можна записати у вигляді суми цього поляризаційного заряду і всіх інших зарядів, густину яких ми позначимо через ρ_ін. Тоді рівняння Максвелла, які пов'язують дивергенцію Е з густиною зарядів, набудуть вигляду:

Потім ми можемо перекинути поляризаційну частину заряду в  ліву частину рівняння  і отримати

Цей новий закон говорить, що дивергенція величини (ε₀ Е+Р) дорівнює   густині інших зарядів.
 
Спільний запис Е і Р, як це зроблено в рівнянні (36.2), корисний, звичайно, тільки тоді, коли ми знаємо якісь співвідношення між ними. Ми бачили, що теорія, яка пов'язує наведений електричний дипольний момент із полем,— річ доволі складна, і насправді її можна застосовувати тільки у відносно простих випадках, та й то лише як наближення. Я хочу нагадати вам про одне наближення.
 
Щоб знайти наведений дипольний момент атома всередині діелектрика, потрібно знати електричне поле, яке діє на окремий атом. Свого часу ми використовували наближення, придатне в багатьох випадках; було припущено, що на атом діє поле, яке було б у центрі невеликої порожнини, що залишилася після видалення цього атома (вважаючи, що дипольні моменти всіх інших сусідніх атомів при цьому не змінюються). Згадайте також, що електричне поле в порожнині всередині поляризованого діелектрика залежить від форми цієї порожнини. Ці результати ми підсумували на фіг. 36.1. У тонкій дископодібній порожнині, перпендикулярній напрямку поляризації, електричне поле, як було показано  за  допомогою закону Гаусса, має  вигляд

З іншого боку, використовуючи рівність нулю ротора, ми знайшли, що електричне поле всередині й поза голкоподібною порожниною одне й те саме:

Нарешті ми виявили, що величина електричного поля всередині сферичної порожнини лежить між цими двома значеннями:

Це і було те поле, яким ми користувалися, міркуючи про те, що відбувається з атомами всередині поляризованого діелектрика.
 
Спробуємо обговорити аналогічну задачу у випадку магнетизму. Найлегше й найкоротше просто сказати, що М — магнітний момент одиниці об'єму (намагніченість) — точнісінько аналогічний Р — електричному дипольному моменту одиниці об'єму (поляризації) і що, отже, від'ємна дивергенція М еквівалентна «густині магнітних зарядів» ρ_m, що б це не означало. Але біда в тому, що у фізичному світі не існує такої штуки, як «магнітний заряд». Як ми знаємо, дивергенція В завжди дорівнює нулю. Це, однак, не завадить нам провести штучну аналогію і написати

але потрібно розуміти, що ρ_m— величина суто математична. Далі ми можемо все робити повністю аналогічно електростатиці і використовувати всі старі електростатичні рівняння. До цього часто вдаються. Колись така аналогія вважалася навіть правильною. Вчені вірили, що ρ_m являє собою густину «магнітних полюсів». Однак зараз нам відомо, що намагнічування матеріалу відбувається за рахунок струмів, які циркулюють усередині атомів, тобто або обертання електронів, або їхнього руху в атомі. Отже, з фізичного погляду краще описувати намагнічування тільки за допомогою реальних атомних струмів, а не вводити густину якихось містичних «магнітних зарядів». Ці струми іноді називають ще «амперівськими», бо Ампер першим припустив, що магнетизм речовини відбувається за рахунок циркуляції атомних струмів.
 
Мікроскопічні густини струмів у намагніченій речовині, звичайно, дуже складні. Їхня величина залежить від місцезнаходження в атомі: у деяких місцях вони великі, в інших — малі, в одній частині вони течуть в один бік, а в іншій — у протилежний (точнісінько так само, як мікроскопічне електричне поле, яке всередині діелектрика надзвичайно неоднорідне). Однак у багатьох практичних задачах нас цікавлять тільки поля поза речовиною або середні магнітні поля всередині неї, причому під середнім ми маємо на увазі усереднення за дуже багатьма атомами. У таких макроскопічних задачах магнітний стан речовини зручно описувати через намагніченість М — середній магнітний момент одиниці об'єму. Я розповім зараз, як атомні струми в намагніченій речовині виростають до макроскопічних струмів,   які пов'язані з М.
 
Розіб'ємо густину струму j, яка є реальним джерелом магнітних полів, на різні частини; одна з них описує циркулюючі струми атомних магнітиків, а решта — інші можливі струми. Зазвичай зручніше ділити струми на три частини. У розд. 32 ми робили відмінність між струмами, які вільно течуть по провідниках, і струмами, зумовленими рухом зв'язаних зарядів у діелектрику то туди, то сюди. У розд. 32, §2, ми писали

причому величина  j_пол  являла собою струми від руху зв'язаних зарядів у діелектриках, а j_ін — усі інші струми. Підемо далі. Я хочу з j_ін виділити частину j_маг, яка описує усереднені струми всередині намагнічених матеріалів, і додатковий член, який ми називатимемо j_пров  і який описуватиме все інше. Він, узагалі кажучи, стосується струмів у провідниках, але може описувати й інші струми, наприклад струми зарядів, що вільно рухаються крізь порожній простір. Таким чином, повну густину струму ми писатимемо  у  вигляді

Звичайно, саме цей струм входить у рівняння Максвелла з ротором В:

Тепер ми маємо зв'язати струм j_маг з величиною вектора намагніченості М. Щоб ви уявляли, до чого ми прагнемо, скажу, що має вийти такий результат:

Якщо в магнітному матеріалі нам усюди задано вектор намагніченості М, то густина циркуляційного струму визначається ротором М. Подивимось, чи можна зрозуміти, чому так відбувається.
 
Спочатку візьмемо циліндричний стрижень, рівномірно намагнічений паралельно його осі. Ми знаємо, що фізично така рівномірна намагніченість насправді означає однорідну всюди всередині матеріалу густину атомних циркулюючих струмів. Спробуймо уявити собі, як виглядають ці реальні струми в поперечному перерізі стрижня. Ми очікуємо побачити струми, що нагадують зображені на фіг. 36.2. Кожен атомний струм тече по колу, утворюючи крихітне коло, причому всі циркулюючі струми течуть в одному й тому самому напрямку. Яким же тоді буде ефективний струм? У більшій частині стрижня він, звичайно, не дає взагалі жодного ефекту, бо поряд із кожним струмом є інший струм, що тече в протилежному напрямку. Якщо уявити собі невелику поверхню, показану на фіг. 36.2 лінією АВ, яка, однак, трішки товща за окремий атом, то повний струм через таку поверхню має дорівнювати нулю. Усередині матеріалу жодного струму немає. Однак зверніть увагу, що на поверхні матеріалу атомні струми не компенсуються сусідніми струмами, що течуть в іншому напрямку. Тому по поверхні весь час в одному напрямку навколо стрижня тече струм. Тепер вам зрозуміло, чому я стверджував, що рівномірно намагнічений стрижень еквівалентний соленоїду з електричним струмом, що тече по ньому.
 
Як же цей погляд узгоджується з виразом (36.7)? Перш за все намагніченість М усередині матеріалу стала, тож усі її похідні дорівнюють нулю. Це узгоджується з нашою геометричною картиною. Однак М на поверхні насправді не стала, вона стала аж до поверхні, а потім раптово падає до нуля. Таким чином, безпосередньо на поверхні виникає величезний градієнт, який відповідно до виразу (36.7) дасть величезну густину струму. Припустімо, що ми спостерігаємо за тим, що відбувається поблизу точки C на фіг. 36.2. Якщо вибрати напрямки осей x і y так, як це показано на фігурі, то намагніченість М буде спрямована по осі z. Виписуючи компоненти рівняння (36.7),   ми  отримуємо

Хоча похідна dM_z/dy у точці C дорівнює нулю, похідна dM_z/dx буде великою і додатною. Вираз (36.7) каже, що в негативному напрямку осі y тече струм величезної густини. Це узгоджується з нашим уявленням про поверхневий струм, що тече навколо циліндра.
 
Тепер ми можемо знайти густину струму у складнішому випадку, коли намагніченість у матеріалі змінюється від точки до точки. Якісно неважко зрозуміти, що якщо у двох сусідніх областях намагніченість різна, то повної компенсації циркулюючих струмів не відбувається, тому повний струм усередині матеріалу не дорівнює нулю. Саме цей ефект ми і хочемо отримати кількісно.
 
Перш за все згадайте, що в розд. 14, § 5 (вип. 5), ми з'ясували, що циркулюючий струм I створює магнітний момент

де A— площа, обмежена контуром  струму  (фіг.  36.3).
Розглянемо  маленький  прямокутний кубик усередині намагніченого матеріалу (фіг. 36.4).
 
Нехай кубик буде настільки малий, що намагніченість усередині нього можна вважати однорідною. Якщо компонента намагніченості цього кубика в напрямку осі z дорівнює М_z, то повний ефект буде таким, ніби по вертикальних гранях тече поверхневий струм. Величину цього струму ми можемо знайти з рівності (36.9). Повний магнітний момент кубика дорівнює добутку намагніченості на об'єм:

звідки, згадуючи, що площа дорівнює ас, отримуємо

Іншими словами, на кожній із вертикальних поверхонь величина струму на одиницю довжини по вертикалі дорівнює М_z.
 
Уявіть тепер два таких маленьких кубики, розташованих поряд один з одним (фіг. 36.5). Кубик 2 дещо зміщений відносно кубика 1, тому його вертикальна компонента намагніченості буде трохи іншою, скажімо M_z +ΔМ_z. Тепер повний струм на поверхні між цими двома кубиками складатиметься з двох частин. По кубику 1 у позитивному напрямку по осі y тече струм I₁, а по кубику 2 у негативному напрямку тече струм I₂. Повний поверхневий струм у позитивному напрямку осі y дорівнюватиме сумі

Величину ΔM_z можна записати у вигляді добутку похідної від М_z по x на зміщення кубика 2 відносно кубика 1, яке  якраз  дорівнює  a:

Тоді струм, що тече між двома кубиками, дорівнюватиме

Щоб пов'язати струм I із середньою об'ємною густиною струму j, потрібно зрозуміти, що цей струм насправді розмазаний по деякій області поперечного перерізу. Якщо ми уявимо, що такими маленькими кубиками заповнено весь об'єм матеріалу, то за такий переріз (перпендикулярний осі x) можна вибрати бічну грань одного з кубиків. Тепер ви бачите, що площа, пов'язана зі струмом, якраз дорівнює площі ab однієї з фронтальних граней.  У результаті отримуємо

Нарешті у нас починає виходити ротор М.
 
Але у виразі для j_y має бути ще один доданок, пов'язаний зі зміною z-компоненти намагніченості зі зміною z. Цей внесок у j походить від поверхні між двома маленькими кубиками, поставленими один на одного (фіг. 36.6). Скориставшись щойно проведеними міркуваннями, ми можемо показати, що ця поверхня даватиме у величину j_y внесок, що дорівнює dM_x/dz. Тільки ці поверхні й даватимуть внесок в у-компоненту струму, так що повна густина струму  в напрямку осі y виходить рівною

Визначаючи струми на решті граней куба або використовуючи той факт, що напрямок осі z було вибрано цілком довільно, ми можемо дійти висновку, що вектор густини струму справді визначається виразом

Отже, якщо ви вирішили описувати магнітний стан речовини через середній магнітний момент одиниці об'єму М, то виявляється, що циркулюючі атомні струми еквівалентні середній густині струму в речовині, визначуваній виразом (36.7). Якщо ж матеріал має до того ж ще й діелектричні властивості, то в ньому може виникнути і поляризаційний струм j_пол= ∂P/∂t. А якщо матеріал до того ж і провідник, то в ньому може текти і струм провідності j_пров. Таким чином, повний струм можна записати як